เวลาหยุดที่คาดไว้ของการเคลื่อนไหวของ Brownian ที่หลุดออกจากช่อง [a, -b]
ปล่อย $W(t)$เป็นภาพเคลื่อนไหวมาตรฐาน Brownian ปล่อย$\tau$ เป็นครั้งแรกที่ $W(t)$ ฮิตระดับใดก็ได้ "$a$"หรือระดับ"$-b$". อะไรคือวิธีที่ตรงที่สุดในการคำนวณ$\mathbb{E}[\tau]$เหรอ?
ฉันสามารถแสดงความน่าจะเป็นที่ $W(t)$ ระดับความนิยม "$a$“ ก่อนหน้านี้”$-b$"และในทางกลับกัน แต่ฉันไม่สามารถคำนวณความคาดหวังของเวลาที่หยุดได้อย่างง่ายดาย $\tau$.
เพื่อแสดงความน่าจะเป็นที่ $W(t)$ ฮิต "$a$“ ก่อนหน้านี้”$b$", ผมถือว่า $\mathbb{E[\tau]}\leq \infty$ดังนั้นโดยทฤษฎีบทการหยุดที่เป็นทางเลือกของ Doob $\mathbb{E}[W_{\tau}]=W(0)=0$(เช่นกระบวนการหยุดคือการมาร์ติงเกล) จากนั้น:
$$ 0=\mathbb{E}[W_{\tau}]=a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) $$
ตามความหมายของ $\tau$เรามีสิ่งนั้น $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+\mathbb{P}(W_{\tau}=-b)=1$, ดังนั้น:
$$ a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) = \\ = a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)-b(1-\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$$
การแก้ปัญหาสำหรับ $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$ ให้: $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)=\frac{b}{a+b}$
คำถามที่ 1 : ฉันจะแสดงให้เห็นอย่างง่ายดายได้อย่างไร$\mathbb{E}[\tau]\leq \infty$เพื่อให้ฉันสามารถตรวจสอบได้ว่าฉันสามารถใช้ทฤษฎีบทการหยุดที่เป็นทางเลือกของ Doob ได้หรือไม่?
คำถามที่ 2 : ฉันจะคำนวณได้อย่างไร$\mathbb{E}[\tau]$ ด้วยวิธีที่ง่ายที่สุด
คำตอบ
คุณอาจทราบ (และถ้าไม่สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดาย) ว่ากระบวนการนี้ $X_{t}=B_{t}^{2}-t$ เป็น Martingale
ตอนนี้พิจารณาสำหรับ $n \in \mathbb{N}$เวลาหยุด (ขอบเขต) $$T_{n}=T \wedge n$$
ใช้ทฤษฎีบทการหยุดทางเลือกบน $T_{n}$ สังเกตว่า $B_{T_{n}} \le \max(a,b)$ และ $T_{n} \le n$
ใช้ทฤษฎีบทคอนเวอร์เจนซ์แบบโมโนโทนเพื่อรับ $$E[T]=\lim_{n\rightarrow \infty}E[T_{n}]= \lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] \le \max(a^2,b^2)< \infty$$
ตอนนี้ใช้คอนเวอร์เจนซ์แบบครอบงำเพื่อสรุป $$\lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] = E[B_{T}^{2}] = a^2 P(B_{T}=a) + b^2 P(B_{T}=b)$$
ที่คุณรู้อยู่แล้ว
สิ่งนี้ช่วยให้คุณ $E[T]$.