เวอร์ชันของทฤษฎีบทของ Hurwitz
คำถาม : ให้$\{f_n\}$ เป็นลำดับของฟังก์ชันการวิเคราะห์ใน $\mathbb{C}$ ซึ่งมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอบนชุดย่อยขนาดกะทัดรัดของ $\mathbb{C}$ เป็นพหุนาม $p$ ระดับ $m$. พิสูจน์ว่าสำหรับ$n$ ใหญ่พอ, $f_n$ มีอย่างน้อย $m$ ศูนย์ (การนับจำนวนทวีคูณ)
ความพยายาม : ฉันรู้ว่านี่เป็นเวอร์ชันหนึ่งของทฤษฎีบทของ Hurwitz แต่ฉันไม่ต้องการแค่พูดว่า "โดย Hurwitz" ถ้า$f_n$ เหมือนกัน $0$ดังนั้นปัญหาก็เป็นเรื่องเล็กน้อยดังนั้นสมมติว่าไม่ใช่กรณีนี้ สำหรับจุดใด ๆ$z_0\in\mathbb{C}$มี $r>0$, ดังนั้น $0<|z-z_0|\leq r$. ปล่อย$|z-z_0|=r$ เป็นวงกลม $C$. จากนั้นโดยการบรรจบกันแบบสม่ำเสมอบน$C$ (ตั้งแต่ $C$ มีขนาดกะทัดรัดเนื่องจากเป็นวงกลม) เรามี $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$และ $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$. ดังนั้น,$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'_n(z)}{f_n(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{p'(z)}{p(z)}dz.$$ ดังนั้นเนื่องจากอินทิกรัลบน LHS ให้จำนวนศูนย์ของ $f_n(z)=0$ ข้างใน $C$เราเห็นว่า $f_n$ และ $p$ มีเลขศูนย์เท่ากันภายใน $C$. การปล่อย$r\rightarrow\infty$ ให้ผลลัพธ์เมื่อ $\mathbb{C}$.
คุณเห็นอะไรผิดปกติกับการพิสูจน์หรือไม่? โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีอะไรเกิดขึ้นกับ "for$n$ ใหญ่พอ "หรือ" การนับจำนวนทวีคูณ "ส่วนของปัญหาที่ฉันควรระวังหรือไม่ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมากขอบคุณ
คำตอบ
มีปัญหาบางอย่างในการโต้แย้งของคุณ:
สำหรับจุดใด ๆ $z_0\in\mathbb{C}$มี $r>0$, ดังนั้น $0<|z-z_0|\leq r$.
คืออะไร $z$ ที่นี่?
จากนั้นโดยการบรรจบกันแบบสม่ำเสมอบน $C$ (ตั้งแต่ $C$ มีขนาดกะทัดรัดเนื่องจากเป็นวงกลม) เรามี $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$, ...
คุณต้องการสิ่งนั้น $p(z) \ne 0$ บน $C$ สำหรับข้อสรุปนี้
... และ $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$.
นั่นอาจเป็นได้ แต่สิ่งที่คุณต้องการก็คือ $f_n'(z) \to p'(z)$ บน $C$.
ฉันจะเริ่มดังนี้ขั้นแรกเราสามารถสันนิษฐานได้ว่าปริญญา $m$ ของ $p$ เป็นอย่างน้อยหนึ่ง (มิฉะนั้นจะไม่มีอะไรจะแสดง) ดังนั้น $p$เป็นพหุนามที่ไม่คงที่ จากนั้นเลือก$r > 0$ ใหญ่มากจนรากทั้งหมดของ $p$ อยู่ข้างใน $\{ |z| < r \}$. ตอนนี้พิจารณาวงกลม$C$ ศูนย์กลางที่จุดกำเนิดพร้อมรัศมี $r$. โปรดทราบว่า$p$ ไม่เป็นศูนย์ $C$.
สุดท้ายแสดงว่า $f_n'/f \to p'/p$ สม่ำเสมอ $C$และใช้หลักการโต้แย้ง