วิธีแก้สมการเมทริกซ์ประเภทนี้ที่เกี่ยวข้องกับอันดับ

Question

ฉันเห็นโพสต์ที่นี่เพื่อแก้สมการความสัมพันธ์อันดับของเมทริกซ์:

symbolicMatrixRank[mat_, assumptions_] := Assuming[assumptions,
  Simplify @ Total @ Map[
    Boole @ Simplify @ Reduce[ConditionalExpression[#, $Assumptions] != 0]&,
    SingularValueList[mat]
  ]
];

adj[m_](*adjoint matrix*):= 
 Map[Reverse, Minors[Transpose[m], Length[m] - 1], {0, 1}]*
  Table[(-1)^(i + j), {i, Length[m]}, {j, Length[m]}]

Reduce[symbolicMatrixRank[adj[{{a, b, b}, {b, a, b}, {b, b, a}}], 
       Element[a, Reals] && Element[b, Reals]] == 1]

ฟังก์ชั่นที่กำหนดเองsymbolicMatrixRankของSjoerd Smitนั้นยอดเยี่ยมมาก แต่ฉันพบว่าสมการเมทริกซ์ต่อไปนี้ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการข้างต้น:

Reduce[symbolicMatrixRank[{{a, 2*b}, {b, 2*c}, {c, 2*a}}, 
       Element[a, Reals] && Element[b, Reals] && Element[c, Reals]] == 
     symbolicMatrixRank[{{a, 2*b, -3*c}, {b, 2*c, -3*a}, {c, 
     2*a, -3*b}}, 
       Element[a, Reals] && Element[b, Reals] && Element[c, Reals]] == 
  2]

ฉันจะปรับปรุงโค้ดด้านบนเพื่อแก้สมการเมทริกซ์ได้อย่างไร

หมายเหตุ:คำถามต่อไปนี้มาจากคำถามที่ 10 ของการสอบเข้าทางคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษาภาษาจีนประจำปี 2546 (ชุดแรก)

a + b + c = 0คำตอบอ้างอิงของคำถามนี้

Answer 1

ฉันจัดการเพื่อให้ได้สิ่งนี้มาโดยเพียงแค่ยุ่งกับค่าเอกพจน์จนกระทั่งการผสมผสานReduceและSimplifyให้ผลลัพธ์ที่ชัดเจน:

mat1 = {{a, 2*b}, {b, 2*c}, {c, 2*a}}
mat2 = {{a, 2*b, -3*c}, {b, 2*c, -3*a}, {c, 2*a, -3*b}}
assumptions = {a, b, c} \[Element] Reals

rank1 = Assuming[assumptions,
  Total[
   Boole @ Simplify @ Reduce @ Reduce[# != 0 && assumptions] & /@ SingularValueList[mat1]
  ]
]
rank2 = Assuming[assumptions,
  Total[
   Boole @ Simplify @ Reduce @ Reduce[# != 0 && assumptions] & /@ SingularValueList[mat2]
  ]
]

Simplify[Reduce[assumptions && rank1 == rank2], Assumptions -> assumptions]

(c! = 0 && ((a == c && b == c) || ​​a + b + c == 0)) || (a + b == 0 && c == 0)