วิธีการได้มาซึ่งโซลูชัน "ที่รู้จักกันดี" สำหรับ Unconstrained Array Gain?
ใครช่วยชี้ฉันไปที่หน้าเว็บหรือแหล่งข้อมูลอื่น ๆ ที่แสดงวิธีการวิเคราะห์การแก้นิพจน์อาร์เรย์แบบ Unconstrained Array Gain ในเอกสาร IEEE ปี 1987 ของ Henry Cox เรื่อง "Robust Adaptive Beamforming" ได้ไหม
$$ \max_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$
Cox พูดว่า:
วิธีแก้ปัญหาที่รู้จักกันดีคือ $\mathbf{w} = \alpha\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}$
ฉันแค่อยากจะเข้าใจสิ่งนี้ให้ดีขึ้นโดยการเรียนรู้วิธีการได้รับสิ่งนี้ด้วยตัวเอง
คำตอบ
คุณสามารถแก้ปัญหาดังกล่าวโดยใช้วิธีการของการคูณ Lagrange ก่อนอื่นโปรดทราบว่าการเพิ่มนิพจน์ในคำถามของคุณจะเท่ากับการย่อฟังก์ชันผกผัน:
$$\min_{\mathbf{w}}\frac{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}}{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}\tag{1}$$
โปรดทราบว่าการแก้ปัญหาของ $(1)$ ไม่แปรผันกับการปรับขนาดของ $\mathbf{w}$กล่าวคือการแทนที่ $\mathbf{w}$ โดย $c\cdot\mathbf{w}$ ใน $(1)$ ด้วยค่าคงที่สเกลาร์โดยพลการ $c$จะไม่เปลี่ยนค่าของฟังก์ชัน ดังนั้นเราอาจใช้มาตราส่วนดังกล่าวได้เช่นกัน$\mathbf{w}^H\mathbf{d}=1$พอใจ การปรับขนาดนี้สอดคล้องกับการตอบสนองที่เป็นเอกภาพสำหรับสัญญาณที่ต้องการ ด้วยข้อ จำกัด นี้ปัญหา$(1)$ สามารถจัดรูปแบบใหม่เป็น
$$\min_{\mathbf{w}}\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}\qquad\textrm{s.t.}\qquad \mathbf{w}^H\mathbf{d}=1\tag{2}$$
เราสามารถแก้ $(2)$ ใช้วิธีการของตัวคูณ Lagrange โดยการย่อขนาด
$$\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-\lambda(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-1)\tag{3}$$
การหาอนุพันธ์อย่างเป็นทางการของ $(3)$ ด้วยความเคารพ $\mathbf{w}^H$ และการตั้งค่าเป็นศูนย์จะให้
$$\mathbf{w}=\lambda\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}\tag{4}$$
ข้อ จำกัด ใน $(2)$ เป็นที่พอใจสำหรับ
$$\lambda=\frac{1}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{5}$$
จาก $(4)$ และ $(5)$ ในที่สุดเราก็ได้รับ
$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{6}$$
สังเกตว่าการปรับขนาดใน $(6)$ เป็นทางเลือกและโซลูชันทั่วไปจะได้รับจาก $(4)$.
ขั้นแรกร่างโซลูชันสำหรับปัญหา SINR beamformer สูงสุด $$ \text{max}_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$ เริ่มต้นด้วยการเขียนฟังก์ชันการทำงาน $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w} $$เพื่อจะลดลงและชุดของข้อ จำกัด อันที่จริงเวกเตอร์น้ำหนักwและw Hถือเป็นตัวแปรอิสระสองชุดเมื่อนำอนุพันธ์มาเทียบกับตัวแปรเหล่านี้ ดังนั้นพลังงานของสัญญาณเอาท์พุตโดยทั่วไปจะเขียนเป็นโมดูลัสกำลังสองของผลิตภัณฑ์ร่วมของสัญญาณน้ำหนักจะต้องถูกเขียนเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์โดยไม่ต้องคำนวณบรรทัดฐานที่ใช้รากที่สอง:$$ |\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2 = \mathbf{w}^H\mathbf{d}·\mathbf{d}^H\mathbf{w} $$ ชุดผลลัพธ์ของข้อ จำกัด เชิงเส้นคือ $$ \mathbf{w}^H\mathbf{d} = c \\ \mathbf{d}^H\mathbf{w} = c^* $$ และเราต้องเขียน Lagrangian ด้วยตัวคูณ Lagrange สองตัวคือλและμ: $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-λ(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-c)-μ(\mathbf{d}^H\mathbf{w}-c^*) $$การใช้อนุพันธ์สองตัวของ Lagrangian - ตัวแรกเทียบกับwและตัวที่สองเทียบกับw H - เราได้นิพจน์สำหรับλและμและแทนที่สิ่งเหล่านี้เป็นนิพจน์ข้อ จำกัด ในที่สุดก็มาถึง สูตรสำหรับน้ำหนัก:$$ \mathbf{w}=c\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}} $$เพื่อ Surprize ของฉันค้นหาเว็บสำหรับ "หน้าเว็บหรืออื่น ๆ ทรัพยากรที่แสดงให้เห็นถึงวิธีการวิเคราะห์แก้ beamformer ว่า" ตามคำขอของ OP, ฉันสามารถหาลดเฉพาะรุ่นที่สมบูรณ์ของแหล่งที่มาของสูตรนี้เอกสารทั่วไปเป็นบันทึกการเรียนการสอนที่เหมาะสม Beamforming , การแนะนำโดยละเอียดและเป็นประโยชน์ในเรื่องนี้ในแง่มุมอื่น ๆ ฉันยังสงสัยว่า OP โพสต์คำถามโดยมีจุดประสงค์เพื่อเผยแพร่การละเว้นทรัพยากรการเรียนรู้นี้ (ขออภัยในความพยายามที่จะพูดตลก ๆ ของฉัน)
สำหรับตอนนี้ฉันสามารถแนะนำสื่อการเรียนรู้เกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมกำลังสองเชิงเส้นข้อ จำกัด ทั่วไปให้กับนักเรียนที่สนใจในการสร้างลำแสงที่เหมาะสมที่สุดเท่านั้น ตัวอย่างเช่น refshttps://www.math.uh.edu/~rohop/fall_06/Chapter3.pdf และ https://www.cis.upenn.edu/~cis515/cis515-20-sl15.pdf. เอกสารเหล่านี้จะพิจารณาเฉพาะรูปแบบกำลังสองที่มีมูลค่าจริงเท่านั้น แต่ผลลัพธ์หลักสามารถสรุปได้ทั่วไปสำหรับโดเมนที่ซับซ้อน