วิธีการคำนวณ $\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(x\right)}{1+x^4}\,dx$

Question

ฉันต้องการคำนวณ $\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(x\right)}{1+x^4}\,dx$แต่ฉันไม่ต้องการใช้การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน ฉันจะคำนวณได้อย่างไร?

ฉันเหนื่อย

$$I\left(t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\,dx$$ $$I''\left(t\right)=-\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x^3\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \left(tx\right)}{x}\,dx\:+\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \left(tx\right)}{x\left(1+x^4\right)}\,dx$$ $$=-\pi \:+\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \left(tx\right)}{x\left(1+x^4\right)}\,dx$$ $$I''''\left(t\right)=-\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\,dx$$ $$I''''\left(t\right)+I\left(t\right)=0$$การแก้สมการเชิงอนุพันธ์แล้วตั้งเงื่อนไขเริ่มต้นดูเหมือนจะเป็นกระบวนการที่ยาวนานมาก ฉันจะคำนวณได้อย่างไร?

Answer 1

ด้วย $I\left(t\right)=\int _{-\infty}^{\infty }\frac{x\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\:dx$, คุณมี $I’’’’(t)+I(t)= 0$พร้อมกับเงื่อนไขเริ่มต้นทั้งหมด

$$I(0)=0, \>\>\>I’(0)=\int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{1+x^4}dx =\frac\pi{\sqrt2} ,\\ I’’(0)=-\pi, \>\>\> I’’’(0)=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^4}dx =\frac\pi{\sqrt2}\\ $$

ซึ่งนำไปสู่การแก้ปัญหา $I(t) =\pi e^{-\frac t{\sqrt2}}\sin\frac t{\sqrt2} $. ด้วยประการฉะนี้

$$\int _{-\infty}^{\infty }\frac{x\sin \left(x\right)}{1+x^4}\:dx =I(1)=\pi e^{-\frac 1{\sqrt2}}\sin\frac 1{\sqrt2} $$

Answer 2

สมการเชิงอนุพันธ์โดยตัวมันเองก็ไม่เลว $$I(t)=e^{-\frac{t}{\sqrt{2}}} \left(\left(c_1 e^{\sqrt{2} t}+c_2\right) \sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)+\left(c_3 e^{\sqrt{2} t}+c_4\right) \cos \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\right)$$แต่อย่างที่คุณเขียนปัญหาอาจอยู่ที่การกำหนดเงื่อนไข (แต่คุณสามารถทำได้)

ใช้พีชคณิตให้ $a,b,c,d$ เป็นรากเหง้าของ $x^4+1=0$(คุณรู้จักพวกเขา) ดังนั้น$$\frac x{x^4 +1}=\frac x{(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)}$$ ใช้การย่อยสลายเศษส่วนแบบพาเทียลและเผชิญกับปริพันธ์ทั้งสี่ที่มีลักษณะเหมือนกัน $$I_k=\int_{-\infty}^\infty\frac {\sin(x)}{x-k} dx\qquad \text{where} \qquad \text{k is a complex number}$$ ทำ $x=t +k$ $$\frac {\sin(x)}{x-k}=\frac {\sin(t+k)}{t}=\cos(k)\frac {\sin(t)}{t}+\sin(k)\frac {\cos(t)}{t}$$และเราจะต้องเผชิญกับปริพันธ์ไซน์และโคไซน์ แต่ผลลัพธ์สุดท้ายนั้นง่ายมาก$$I_k=\pi \, e^{i k}$$