วิธีการคำนวณส่วนหลังนี้ผ่านการทำให้เป็นชายขอบ?

Question

ฉันอ่านกระดาษและมันมีรูปแบบมากเพียงกำเนิดซึ่งเป็นตัวแทนจากนี้

พวกเขาคำนวณหลัง P (A | X) ในแบบที่ฉันไม่เข้าใจ ดูเหมือนจะไม่เป็นการปฏิรูปกฎของ Bayes แต่บางทีฉันอาจจะคิดผิด ฉันเป็น noob ความน่าจะเป็นดังนั้นฉันก็เป็นได้

. พวกมันมีขอบเหนือ W แต่ฉันไม่เข้าใจว่าสิ่งนี้ก่อให้เกิดส่วนหลังได้อย่างไร พวกเขาได้มาจากสูตรนี้ได้อย่างไร? มันทำงานอย่างไร?

ในทำนองเดียวกันพวกเขาก็คำนวณหลัง P (W |

X) สิ่งนี้มีลักษณะคล้ายกัน แต่เหมือนกันเพราะตอนนี้พวกเขากำลังกลายเป็นคนชายขอบมากกว่า A รวมถึง p (A) ในขณะที่ก่อนหน้านี้เมื่อมีการด้อยค่ามากกว่า W ไม่มี p (W) เข้ามาเกี่ยวข้อง วิธีนี้เป็นวิธีเดียวกันหรือไม่?

ฉันได้ศึกษาเกี่ยวกับความเป็นชายขอบแล้วและฉันไม่สามารถรวบรวมชิ้นส่วนต่างๆเข้าด้วยกันได้ ในทำนองเดียวกันฉันคุ้นเคยกับกฎของ Bayes แต่ฉันไม่เห็นว่ามันใช้ที่นี่อย่างไร ใครสามารถช่วยฉันด้วยคำอธิบาย?

ขอบคุณ!

Answer 1

เราเริ่มต้นด้วยกฎของ Bayes แต่เราใช้สัญลักษณ์สัดส่วน ($\propto$) มากกว่าความเท่าเทียมกัน ($=$). (แน่นอนว่าค่าคงที่ของสัดส่วนคือ$\mathsf P(X=x)^{-1}$.)

$$\begin{align}\mathsf P(A\mid X=x)&=\mathsf P(X=x,A)/\mathsf P(X=x)\\[1ex]&\propto \mathsf P(X=x,A)\end{align}$$

ถัดไปตามกฎหมายความน่าจะเป็นทั้งหมด

$$\begin{align}\mathsf P(A\mid X=x)&\propto\sum_{W}\mathsf P(X=x,W,A)\end{align}$$

ส่วนที่เหลือคือการแยกตัวประกอบจาก DAG และกระจายปัจจัยร่วมออกไป

$$\begin{align}\mathsf P(A\mid X=x)&\propto\sum_{W}\mathsf P(X=x\mid W)\mathsf P(W\mid A)\mathsf P(A)\\[1ex]&\propto\mathsf P(A)\sum_{W}\mathsf P(X=x\mid W)\mathsf P(W\mid A)\end{align}$$

---

และในทำนองเดียวกัน

$$\begin{align}\mathsf P(W\mid X=x)&=\mathsf P(X=x,W)/\mathsf P(X=x)\\&\propto \mathsf P(X=x,W)\\&\propto \sum_A\mathsf P(X=x,W,A)\\&\propto\sum_A\mathsf P(X=x\mid W)\mathsf P(W\mid A)\mathsf P(A)\end{align}$$