แอมพลิจูดของ .เป็นอย่างไร $\cos$และ $\sin$เลือก?

Question

ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมเราใช้$\displaystyle\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}$ในการเปลี่ยนแปลงด้านล่าง ใครก็ได้ช่วยอธิบายที

จาก

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^t\left(\cos(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\right)$$

แปลงร่างเป็น

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\cos(2t)+\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\sin(2t)\right)$$

ปล่อย$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\cos\phi$และ$\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\sin\phi$,

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t(\cos\phi\cos(2t)+\sin\phi\sin(2t))$$

Answer 1

มาจดจ่อกับส่วนสำคัญคือรูปแบบ$$ f(x)=a\cos x+b\sin x $$ซึ่งเราต้องการแสดงเป็น$$ f(x)=A(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x) $$เงื่อนไขที่จำเป็น (และเพียงพอ) คือ$$ A\cos\varphi=a,\qquad A\sin\varphi=b $$และดังนั้นจึง$a^2=A^2\cos^2\varphi$,$b^2=A^2\sin^2\varphi$. เพราะฉะนั้น$$ A^2=a^2+b^2 $$พวกเราต้องการ$A>0$(ไม่จำเป็นแต่สะดวก) จึงได้$$ A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \cos\varphi=\frac{a}{A},\quad \sin\varphi=\frac{b}{A} $$สามารถปฏิบัติตามข้อกำหนดสองข้อสุดท้ายได้เพราะ$(a/A,b/A)$เป็นจุดบนวงกลมหน่วย

Answer 2

นี่เป็นวิธีทำให้เวกเตอร์เป็นปกติ$v=(a,b)=\left(1,\frac12\right)$นั่นคือ

$$|v|=\sqrt{a^2+b^2} \implies \hat v=\frac{v}{|v|}$$

มีความยาวเท่ากับ$1$และสิ่งนี้ช่วยให้ทำการแปลงในภายหลังสำหรับ$\cos \phi$และ$\sin \phi$.