อะไรคือวงรีของจอห์นสำหรับชุดนูนคู่ (9- และ 15 มิติ) ของ $4 \times 4$ เมทริกซ์บวกแน่นอน?
อะไรคือวงรีของจอห์น ( JohnEllipsoid ) สำหรับชุดนูน 9 และ 15 มิติ ($A,B$) ของ $4 \times 4$เมทริกซ์สมมาตร (Hermitian) เชิงบวก - แน่นอน (Hermitian) (ในสำนวนข้อมูลควอนตัม, ชุดของ "two-rebit" และ "two-qubit" "density matrices" [ DensityMatrices ] ตามลำดับ)? (ร่างกายเหล่านี้ "สมมาตรส่วนกลาง" ในแง่มุมหนึ่งของทฤษฎีบทJohnTheoremหรือไม่)
นอกจากนี้อะไรคือความสัมพันธ์ (จุดตัด, ... ) ของวงรีเหล่านี้กับส่วนนูนที่สำคัญของ $A$ และ $B$ ประกอบด้วยเมทริกซ์เหล่านั้นที่ยังคงมีค่าแน่นอนในเชิงบวกภายใต้การดำเนินการ (ไม่ใช่เชิงบวกอย่างสมบูรณ์) ของการขนย้ายบางส่วนซึ่งทั้งสี่ $2 \times 2$ บล็อกของ $4 \times 4$เมทริกซ์ถูกย้ายเข้าที่? [ MasterLovasAndai ] ว่าเศษส่วนของปริมาตรแบบยุคลิดที่ครอบครองโดย "PPT" [positive-partial-transpose / separable / nonentangled] ส่วนนูนคือ$\frac{29}{64}$ สำหรับ $A$ และ $\frac{8}{33}$ สำหรับ $B$.)
นอกจากนี้ความสัมพันธ์เพิ่มเติมของทรงรีเหล่านี้กับ "แรงบันดาลใจ" คืออะไร (ลูกสูงสุดที่จารึกไว้ใน $A$ และ $B$[ SBZ ])? แรงบันดาลใจยังอยู่ในชุด PPT ทรงรีและแรงบันดาลใจของจอห์นอาจจะบังเอิญหรือไม่?
นอกจากนี้อะไรคือสิ่งที่อาจเป็นวงรีของจอห์นเองสำหรับชุด PPT เหล่านี้
มีแนวคิดที่น่าสนใจของ "พวงมาลัยพาวรี" เป็นที่กล่าวถึงในใบเสนอราคาต่อไปหน้า 28 [SteeringEllipsoid] :
สำหรับรัฐสอง qubit รัฐที่มีเงื่อนไขปกติอลิซสามารถบังคับระบบของ Bob ให้สร้างวงรีภายในทรงกลม Bloch ของ Bob ซึ่งเรียกว่าวงรีพวงมาลัย (Verstraete, 2002; Shi et al., 2011, 2012; Jevtic et al., 2014 ).
อย่างไรก็ตาม "Bloch sphere" เป็น 3 มิติดังนั้นวงรีพวงมาลัยของสถานะสองคิวบิตจึงไม่สามารถเป็นทรงรี (15 มิติ) ของจอห์นที่ร้องขอด้านบนได้
แน่นอนว่าคำถามของ John ellipsoids คืออะไรสามารถถามได้สำหรับชุดนูนของ $m \times m$ สมมาตรและ $n \times n$ Hermitian (positive-แน่นอน, trace 1) เมทริกซ์ความหนาแน่น ($m,n \geq 2$). สำหรับ$m,n=2$คำตอบดูเหมือนจะไม่สำคัญคือนูนตั้งตัวเอง สำหรับ$m,n =3$ดูเหมือนว่าอาจจะไม่สำคัญ อย่างไรก็ตามสำหรับค่าคอมโพสิตของ$m,n$เรามีคำถามย่อยเกี่ยวกับส่วนนูนของ PPT-States หรือไม่
บทความ Wikipedia ที่ให้โดยไฮเปอร์ลิงก์แรกด้านบนอธิบายถึง
"วงรีที่จารึกไว้ในปริมาตรสูงสุดว่าLöwner – John ellipsoid"
[ DensityMatrices ]: Slater - สูตรที่กระชับสำหรับความน่าจะเป็นแบบสอง qubit โดยทั่วไปของ Hilbert – Schmidt
[ JohnTheorem ]: Howard - ทฤษฎีบทของ John ellipsoid
[ MasterLovasAndai ]: Slater - Master Lovas – Andai และสูตรที่เทียบเท่ากันในการตรวจสอบ$\frac8{33}$ ความน่าจะเป็นแบบสอง qubit Hilbert – Schmidt แบบแยกส่วนและการคาดคะเนที่มีเหตุผลร่วมกัน
[ SBZ ]: Szarek, Bengtsson และŻyczkowski - เกี่ยวกับโครงสร้างของร่างกายของรัฐที่มีการเปลี่ยนบางส่วนเป็นบวก
[ SteeringEllipsoid ]: Uola, Costa, Nguyen และGühne - พวงมาลัยควอนตัม
คำตอบ
ให้เราเริ่มต้นด้วยสูตรที่เกี่ยวข้องสองสูตร ประการแรกคือสำหรับปริมาตรของไฟล์$k$- ทรงรีมิติ [Thm. 2.1, EllipsoidVolume ], \ begin {สมการ} vol_k = \ frac {2 \ pi ^ {k / 2} \ prod _ {i = 1} ^ k a_i} {k \ Gamma \ left (\ frac {k} {2 } \ right)} \ end {สมการ}โดยที่$a_i$คือความยาวของกึ่งแกน
อีกอันคือสำหรับระดับเสียงของชุด $m \times m$เมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอนของการติดตาม 1 [(7.7), RebitVolume ] \ start {สมการ} Vol_m = \ frac {2 ^ {\ frac {1} {4} (m-1) m + m} \ sqrt {m} \ pi ^ {\ frac {1} {4} (m- 1) m- \ frac {1} {2}} \ Gamma \ left (\ frac {m + 1} {2} \ right) \ prod _ {l = 1} ^ m \ Gamma \ left (\ frac {l } {2} +1 \ right)} {ม! \ Gamma \ left (\ frac {1} {2} m (m + 1) \ right)} \ end {สมการ}
สำหรับกรณี (“ two-rebit”) $m=4$ ($k=9$) ที่น่าสนใจทันทีสูตรจะให้ผลตอบแทน\ start {สมการ} \ frac {\ pi ^ 4} {60480} \ ประมาณ 0.0016106 \ end {สมการ}
ดังนั้นคำถามที่เราสนใจเป็นพิเศษคือสัดส่วนของปริมาตรนี้ถูกครอบครองโดยวงรี Lowner-John ภายในสำหรับชุดนูนของชุด 9 มิติที่ระบุ $4 \times 4$(ความหนาแน่น) เมทริกซ์ นอกจากนี้ขนาดของมันเมื่อเทียบกับ$\frac{29}{64}$เศษส่วนที่กำหนดโดย Lovas และ Andai สำหรับความสามารถในการแยกตัว - เทียบเท่ากับ PPT - ความน่าจะเป็นของสองสถานะ rebit? นอกจากนี้เมื่อเปรียบเทียบกับปริมาตรของแรงบันดาลใจ (ซึ่งเราไม่มีการคำนวณในปัจจุบันในทันที)
ดังนั้นเพื่อตอบคำถามเหล่านี้เราจึงสร้าง "เมทริกซ์ความหนาแน่นสองรีบิต" ที่สร้างขึ้นแบบสุ่ม (วินาที, 4, RandomDensityMatrices ) โดยใช้วิธี Ginibre-ensemble จากนั้นเราจึงนำค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างมาหารด้วย 2 รายการอิสระเก้ารายการ (เส้นทแยงมุมสามเส้นและค่านอกเส้นทแยงมุมหกอันบนของเมทริกซ์ผลลัพธ์ถูกนำมาเป็นแกนกึ่งแกน
ณ เวลานี้เราสร้างคู่ดังกล่าวได้เกือบสิบหกล้านคู่ คู่ของ$4 \times 4$ เมทริกซ์ความหนาแน่นซึ่งเราพบปริมาตรทรงรีสูงสุดที่เกี่ยวข้อง $6.98613 \cdot 10^{-8}$ (เฉพาะ 0.0000432642 จาก $\frac{\pi ^4}{60480} \approx 0.0016106$) จนถึงตอนนี้\ เริ่ม {สมการ} \ ซ้าย (\ เริ่ม {array} {cccc} 0.424772 & -0.147161 & -0.3345 & -0.177458 \\ -0.147161 & 0.164668 & 0.146384 & 0.0925659 \\ -0.3345 & 0.146384 & 0.29387 & 0.157489 \\ -0.177458 & 0.0925659 & 0.157489 & 0.11669 \\ \ end {array} \ right) \ end {สมการ}และ\ begin {สมการ} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.135144 & 0.189631 & -0.03164 & 0.145386 \\ 0.189631 & 0.449171 & -0.180868 & 0.347037 \\ -0.03164 & -0.180868 & 0.126351 & -0.128246 \\ 0.145386 & 0.347037 & -0.128246 & 0.289334 \\ \ end {array} \ right) \ end {สมการ}ครึ่งหนึ่งของความแตกต่างสัมบูรณ์สำหรับเมทริกซ์ทั้งสองนี้ของรายการเส้นทแยงมุมสามแถวนำหน้าและรายการนอกเส้นทแยงมุมหกรายการบนถูกใช้เป็นครึ่งแกนทั้งเก้าในสูตรแรกที่ให้ไว้ข้างต้น
ขอให้เราชี้ให้เห็นว่ามีทางเลือกอื่น แต่เทียบเท่ากับปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานบางอย่าง - วิธีการคำนวณปริมาณของ $m \times m$เมทริกซ์ความหนาแน่น ( AndaiVolume ) อย่างไรก็ตาม Andai จำกัด ความสนใจไว้ที่ไฟล์$2 \times 2$ กรณี Hermitian และไม่ได้ให้ทางเลือกที่ชัดเจนสำหรับสูตรปริมาตรของ Zyczkowski และ Sommers ที่นำเสนอข้างต้น - ดังนั้นในเวลานี้เราไม่แน่ใจว่าจะใช้รูปแบบใด