อินทิกรัลของทฤษฎีบทการติดตามและการแตกต่าง

Question

ฉันพบความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ในกระดาษที่ฉันกำลังอ่านและฉันติดขัดเพราะฉันไม่สามารถตรวจสอบได้

เรามีฟิลด์เวกเตอร์ที่เรียบและไม่แตกต่างกัน $V \colon \mathbb T^N \to \mathbb T^N$กำหนดไว้ที่พรู มีการอ้างว่า$$ \int_{\mathbb T^N} \text{Tr}[(V \otimes V) \cdot \nabla V] \, dx = 0 $$ ที่ไหน $dx$เป็นมาตรวัด Lebesgue มาตรฐานบนพรู ความคิดเดียวของฉันที่จะตรวจสอบสิ่งนี้คือการหันไปใช้การบูรณาการตามส่วนต่างๆและทฤษฎีบทความแตกต่าง: "การติดตาม" ที่ปรากฏในอินทิกรัลควรลดลงเป็นความแตกต่างของปริมาณบางส่วน (โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า$\text{div } V = 0$) จากนั้นข้อสรุปจะตามมาด้วยทฤษฎีบทความแตกต่างแน่นอน (เนื่องจากเราอยู่บนพรู)

อย่างไรก็ตามมีบางอย่างแตก: ใน 2 มิติการคำนวณที่ชัดเจนบอกฉันว่าอินทิแกรนด์คือ $$ v_1^2 \partial_1 v_1 + v_2^2 \partial_2v_2 + v_1v_2 (\partial_1 v_2 + \partial_2 v_1) $$ (มีสัญกรณ์ที่ชัดเจนสำหรับอนุพันธ์และ $V=(v_1,v_2)$) และฉันล้มเหลวที่จะเขียนสิ่งนี้ว่าเป็นความแตกต่างของบางสิ่งบางอย่างไม่ได้ใช้การรวมโดยส่วนต่างๆหรือความจริงที่ว่า $\partial_1 v_1 = - \partial_2 v_2$.

ฉันรู้สึกว่าควรจะมีเคล็ดลับง่ายๆ (ทั่วไป?) อยู่เบื้องหลัง แต่หลังจากการคำนวณคืนหนึ่งฉันก็ยอมแพ้ ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือของคุณ.

Answer 1

พิจารณาฟิลด์เวกเตอร์ต่อไปนี้: $$X = |V|^2 V = \sum_j V_j^2 V$$ บน $\mathbb T^N$. จากนั้นโดยทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์$$\int_{\mathbb T^N} \operatorname{div} (X) = 0.$$ ตั้งแต่

\begin{align} \operatorname{div} (X) & = \operatorname{div} (|V|^2 V) \\ &= \sum_i \nabla_i (|V|^2 V_i) \\ &= 2 \sum _{i,j} (\nabla_i V_j) V_j V_i + |V|^2 \sum_i \nabla_iV_i \\ &= 2 \sum_{i,j} V_i V_j \nabla_i V_j \\ &= 2\operatorname{tr} ( V\otimes V, \nabla V), \end{align}

หนึ่งได้รับผลลัพธ์

Answer 2

ดังนั้นการบูรณาการตามส่วนต่างๆและใช้ความจริงที่ว่า $\nabla\cdot v=0$ คุณมี $$ \int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}(\nabla\cdot(v\otimes v) \otimes v) = - 0 -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\cdot\nabla v) \otimes v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) $$ ดังนั้น $$ 2\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = 0. $$