องค์ประกอบของสองกลุ่มย่อยปกติของ Abelian เดินทางหรือไม่?
ดังนั้น $H$ และ $K$เป็นกลุ่มย่อยอาเบเลียนปกติของบางกลุ่ม มันเป็นความจริงสำหรับทุกคน$h \in H$ และสำหรับทุกคน $k \in K$ ที่ $hk=kh$เหรอ? ฉันไม่คิดว่าคำสั่งนั้นถูกต้อง แต่ฉันไม่พบตัวอย่างการตอบโต้ (ค่อนข้างง่าย)
คำตอบ
ปล่อย $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ เป็นกลุ่ม quaternion ตามลำดับ $8$. พิจารณา$H=\{\pm1,\pm i\}$ และ $K=\{\pm1,\pm j\}$.
ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือกลุ่มไดฮีดรัล $D_8$, พูดว่าสร้างโดย $a$ ของการสั่งซื้อ $4$ และ $b$ ของการสั่งซื้อ $2$. ทุกองค์ประกอบของ$D_8$ อยู่ในกลุ่มย่อยตามปกติ $4$: $\{1,a,a^2,a^3\}$, $\{1,a^2,b,a^2b\}$ และ $\{1,a^2,ab,a^3b\}$. แน่นอนว่าสิ่งเหล่านี้เป็นอาเบเลียนทั้งหมดเนื่องจากมีคำสั่งซื้อ$4$. หากคำแถลงของคุณถูกจัดขึ้นแล้ว$D_8$ ดังนั้นจะเป็นอาเบเลียนซึ่งแน่นอนว่าไม่ใช่
ตัวอย่างของ $Q_8$จากอีกสองคำตอบนั้นใช้ได้อย่างสมบูรณ์แบบแน่นอน ในความเป็นจริงถ้า$G$ คือกลุ่มคำสั่งซื้อที่ไม่ใช่ abelian $p^3$ จากนั้นทุกองค์ประกอบจะอยู่ในกลุ่มย่อยของคำสั่งซื้อ $p^2$ (ซึ่งจำเป็นต้องเป็น abelian และปกติ) และกลุ่มคำสั่งที่ไม่ใช่ abelian ทุกกลุ่ม $p^3$ เป็นตัวอย่าง
กลุ่มแฮมิลตันใด ๆจะให้ตัวอย่างการตอบโต้ตามคำจำกัดความเนื่องจากกลุ่มย่อยแบบวนรอบเป็นแบบ abelian และปกติ แต่คุณสามารถค้นหากลุ่มย่อยสองกลุ่มที่มีเครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่ไม่ได้เดินทาง
ตัวอย่างที่เล็กที่สุดคือกลุ่มควอเทอร์เนียน $Q_8$.