อสมการความน่าจะเป็นสำหรับผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระที่ไม่เป็นลบ
สมมติ $X_i$, $i \in \mathbb{N}$ เป็นตัวแปรสุ่มไบนารีอิสระที่มี $P(X_i = 1) = p_i = 1-P(X_i = 0)$ และกำหนด $S_n \equiv \sum_{i=1}^n X_i$. ฉันต้องการพิสูจน์ว่าสำหรับทุกๆ$x > 0$, เรามี $$P(S_n \ge x) \leq \left(\frac{\mu e}{x}\right)^x $$
ฉันสามารถทำสิ่งนี้เพื่อ $x \in (0,1]$ โดยสังเกตว่าฟังก์ชัน $f(y) \equiv y^x, y \ge 0$ เว้าสำหรับ $x$ ในช่วงนี้เราจึงมี $$P(S_n \ge x) \leq P(eS_n \ge x) \leq P(e^x S_n^x \ge x^x) \leq \frac{e^x E(S_n^x)}{x^x}\leq \frac{e^x E(S_n)^x}{x^x} = \left(\frac{\mu e}{x} \right)^x $$
ที่เราใช้อสมการของเจนเซ่นเพื่อให้ได้อสมการสุดท้าย ฉันหลงทางในการพยายามทำให้ถูกต้อง$x > 1$. เราไม่สามารถใช้ Jensen ได้อีกเพราะฟังก์ชัน$f(y)$ ตอนนี้นูนแล้ว $x \in (1, \infty)$ดังนั้นเราจึงต้องการกลยุทธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นความคิดที่ถูกต้องหรือไม่ แต่เราสามารถเขียนนิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นได้$$P(S_n \ge x) = \sum_{J \subseteq \{1, ... n\}, |J| \ge x} \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \not \in J} (1-p_i) $$ฉันไม่เห็นผลอะไรจากสิ่งนี้เลย ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชมมาก!
คำตอบ
สมมติ $x > \mu$, เพราะ ... ถ้า $x \le \mu$แล้วด้านขวามือจะใหญ่กว่า $1$.
ฉันทำตามการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของเบิร์นสไตน์: https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_inequalities_(probability_theory)
สำหรับใด ๆ $ \theta > 0$, เรามี $$ P(S \ge x) = P(\exp(\theta(S-x)) \ge 1) \le E(\exp(\theta(S-x))) = e^{-\theta x} \prod_k E(\exp(\theta X_k)) .$$ ตอนนี้ $$ E(\exp(\theta X_k)) = 1-p_k + p_k e^{\theta} \le \exp((e^{\theta} - 1) p_k ) .$$ ดังนั้น $$ P(S \ge x) \le \exp(-\theta x + (e^\theta -1) \mu ) \le \exp(-\theta x + e^\theta \mu ) .$$ ชุด $\theta = \log (x/\mu)$.