Zarar Dağıtımlarına Giriş

Dağılım seçimi, parametre tahmini ve uyum iyiliği testinin bir örneği

Olağan iş akışında, bir genel sigortacı, büyük olasılıkla çeşitli miktarlarda olacak tazminat taleplerini alacaktır. Sigortacının, fiyatlandırma ve rezerve etme gibi işlevler için bu taleplerin dağıtımını anlaması gerekecektir. Uygulamada, gerçek hasar dağılımının bilinmesi olası değildir ve bunun yerine sigortacının bu dağılımı yaklaşık olarak tahmin etmek için mevcut verileri kullanması gerekecektir. Aşağıda, hem elle hem de R'deki istatistiksel hesaplamanın yardımıyla, bu sürecin uçtan uca bir incelemesi yer almaktadır.

Kayıp dağılımları, bireysel hasar tutarlarını modellemek için kullanılan istatistiksel dağılımlar olarak tanımlanır. Bu amaçla kullanılabilecek çok sayıda istatistiksel dağılım vardır. Uygulamada, uzun kuyruklu pozitif çarpık dağılımlar genellikle genel sigorta talepleri için en uygun olanı sağlar. Aşağıdaki histogram ve tablo ile özetlenen bir genel sigortacının motorlu taşıt hasarları deneyimini gözlemlediğimizi ve bu verilere bir hasar dağılımı uydurmak istediğimizi varsayalım.

İlk adım, uygun bir dağıtım veya bir dizi dağıtım seçmektir. Basit olması için, yalnızca bir parametreli basit bir kayıp dağılımı kullanacağız - üstel dağılım. Üstel bir dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu (pdf), kümülatif yoğunluk fonksiyonu (cdf) ve ilk momentin aşağıdaki gibi tanımlandığını hatırlayın:

İkinci adım, seçilen dağılım(lar) için parametre(ler)i tahmin etmektir - yani dağılım(lar)a uydurmaktır. Lambda parametresinin tahmini için elimizde üç yaklaşım vardır ve bunların tümü, daha karmaşık dağılım için parametreleri tahmin etmeye kolayca genişletilebilir. Birincisi, anlar yöntemidir. Bu yaklaşımda, üstel dağılımın ilk teorik momentini ilk örnek momente, yani örnek verilerde gözlemlenen ortalamaya eşitleriz. Birden fazla parametreli dağılımlar için, aynı şekilde daha yüksek dereceli momentler kullanılacaktır.

Bir sonraki yaklaşım maksimum olabilirlik tahminidir. Burada lambda tahmini, gözlemlenen verinin gözlemlenme olasılığını maksimuma çıkaran değerdir. Bu olasılık, belirli bir lambda değeri için olabilirlik fonksiyonu ile temsil edilir. Uygulamada, olabilirlik fonksiyonunun logaritmasını maksimize etmek genellikle daha basittir (ve aynı tahmini verir). Normal olarak, fonksiyonu maksimize etmek, log-olasılığın lambdaya göre türevini almayı, elde edilen ifadeyi sıfıra eşitlemeyi ve lambda için çözmeyi gerektirir. Daha fazla parametreli dağılımlar için yöntem, her parametre için aynı adımlar izlenerek (türev al, sıfıra eşitle, çöz) genişletilir.

Son yaklaşım yüzdelikler yöntemidir. Bu yaklaşım, momentler yaklaşımı yöntemine benzer, tek fark, anları eşitlemek yerine yüzdelik dilimleri eşitlememizdir. Daha spesifik olarak, dağılımın teorik medyanını örnek medyana eşitliyoruz. Birden fazla parametreli dağılımlar için diğer yüzdelik dilimlerden faydalanmamız gerekir. Örneğin, iki parametreli bir dağılım için bunun yerine üst ve alt çeyrekleri kullanmayı seçebiliriz.

R'de, üç lambda tahmini, yukarıdakiyle aynı mantık kullanılarak birkaç satırda kolayca hesaplanabilir:

x_bar = sum_xi/N
lambda_mme = 1/x_bar
lambda_mle = 1/x_bar
lambda_mpe = -log(0.5)/median_xi

Bizim özel durumumuzda, hasar miktarlarının üstel olarak dağıldığına dair boş hipotezi, hasar miktarlarının üstel olarak dağılmadığına dair alternatif hipoteze karşı test ediyoruz. Lambda parametresi verilerden tahmin edildiğinden, ek bir serbestlik derecesi kaybederiz - yani verilerden tahmin edilen her parametre için bir serbestlik derecesi kaybolur.

Her biri 1000 boyutunda 10 kova seçerek başlıyoruz. Kovalar talep miktarları için aralıkları veya aralıkları temsil eder, yani (0; 1000], (1000; 2000], … (9000; 10000). Gözlemlenen miktar için basitçe sayarız her bir aralığa düşen gözlemlenen taleplerin sayısı R'de bu, bölümlerimizi belirleyerek (breaks değişkeninde ) , cut işlevini kullanarak gözlemlenen her bir talebi uygun bölüme tahsis etmek için ve tablo işlevini sayıyı saymak için kullanarak elde edilir. her gruptaki hak taleplerinin sayısı.

breaks = seq(from = 0, to = 10000, by = 1000)
intervals = cut(loss_data, breaks = breaks)
observed_counts = as.numeric(table(intervals))

intervals_text <- str_replace_all(levels(intervals), "[()\\[\\]]", "")

interval_ranges <- lapply(intervals_text, function(x) c(as.numeric(strsplit(x, ",")[[1]])))

expected_counts_mme = c()
for (i in 1:length(interval_ranges)){
  expected_counts_mme[i] = length(loss_data)*(pexp(interval_ranges[[i]][2], rate = lambda_mme) - pexp(interval_ranges[[i]][1], rate = lambda_mme))
}

test_stat_mle = sum((observed_counts-expected_counts_mle)^2/expected_counts_mle)
p_value_mle = pchisq(test_stat_mle, df = length(observed_counts)-2, lower.tail = FALSE)

Grafikleri ve hesaplamaları yeniden oluşturmak için R kodunu içeren depo burada bulunabilir:https://github.com/ValentineChisango/A212-CS2