Fractales y sus dimensiones.

Los fractales son formas locas que muestran orden y patrones en diseños caóticos. Tiene muchas curvas fascinantes. Estos patrones interesantes han sido estudiados individualmente debido a sus propiedades únicas. Uno de ellos es el triángulo de Sierpinski .

El triángulo de Sierpinski es básicamente un triángulo equilátero que se divide en cuatro triángulos equiláteros (como se muestra en la imagen a continuación) y se elimina el triángulo central. Luego, esos subtriángulos se dividen nuevamente de manera similar en cuatro triángulos equiláteros y se elimina el triángulo central. Este proceso se itera infinitamente y, en el proceso, el triángulo complejo recibido es el triángulo de Sierpinski. Ahora, si en un triángulo de Pascal, todos los números impares son de color negro y los números pares son de color blanco, entonces lo que finalmente obtienes es el triángulo de Sierpinski. Inesperado, ¿verdad?

Los fractales no eran solo formas o patrones aleatorios creados matemáticamente. También se vio en el gráfico de población. Se observó que los alimentos aumentaban linealmente, pero la población aumentaba de manera exponencial. Más tarde se descubrió que la población no siguió aumentando de esta manera. Aumentó durante algunos años, luego, debido a la escasez de alimentos y recursos, volvió a disminuir. Estos cambios de población siguieron una función simple,

[Deje que la ecuación anterior se rotule (1).]

Donde, X es la población del año actual y X_next es la población del año posterior a X y r es una constante que se puede ajustar según la población que se está modelando. Para observar el comportamiento a largo plazo de los sistemas, esta fórmula se repitió una y otra y otra vez para ver qué pasaba. Este proceso se llama iteración.

La ecuación (1) se grafica tomando 'r' como 3.5 y asumiendo con una situación hipotética que el valor de X está solo entre 0 y 1, y se itera infinitamente. El siguiente fue el gráfico obtenido:

Este gráfico se consideró como un fractal ya que mostraba la propiedad de auto-similitud en él. Cuando hace zoom en la 'ventana de orden' del gráfico, que es el amplio espacio en el gráfico, notará que el mismo gráfico original está nuevamente presente en esa ventana. Cuanto más te acercas, encuentras el mismo gráfico una y otra vez en la ventana del caos. Este Fractal fue referido como 'La higuera'.

Como mencioné en uno de mis artículos anteriores, los fractales son formas que son ásperas e irregulares. Esta rugosidad e irregularidad se pueden calcular fácilmente. ¿Cómo? Calculando su dimensión Fractal. Felix Hausdorff y Abram Besicovitch descubrieron que los fractales tenían dimensiones no enteras. Describieron que los fractales son curvas que tienen una dimensión "entre" las dimensiones enteras. Estas dimensiones fractales, por lo tanto, también se conocen como la dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Pero, ¿cómo calcular estas dimensiones? Hay dos métodos principales que se pueden utilizar para calcular fácilmente la dimensión.

Uno, usando la propiedad de auto-similitud que poseen los fractales. Tomemos formas con dimensiones conocidas 1,2 y 3. Para la dimensión uno, tomemos una línea de 1 unidad de longitud y redúzcala a 1/4 de su longitud original. Entonces, su longitud ahora es 1/4 de unidad. Para obtener la longitud original, tenemos que multiplicar ese 1/4 de la línea por cuatro. Sea 's' el factor por el que se reduce la línea, el número por el que se multiplica 's' para obtener la longitud original sea 'n' y la dimensión sea 'D'. Por lo tanto, observaría que en este caso,

Esta fórmula es válida para cualquier dimensión. Supongamos que tratamos de probar esto usando el área de una forma de 2 dimensiones. Entonces, reduzcamos cada lado de un cuadrado que tiene una longitud unitaria a la mitad de su longitud original para que su área se reduzca. 1/4 Por lo tanto, para recuperar el cuadrado original, necesitamos multiplicar el cuadrado reducido 4 veces.

Así, D = 2, que era la dimensión requerida.
De manera similar, se puede probar para una forma tridimensional.

Por lo tanto, la ecuación general encontrada es,

La ecuación (2) es una de las fórmulas que se pueden usar para encontrar la dimensión fractal de una forma. Ahora, supongamos que tomamos una curva de Koch,

Con los valores dados arriba de n y s, si tratamos de calcular su dimensión fractal con la ecuación (2), obtenemos aproximadamente 1.26. Esta es la dimensión del fractal, la curva de Koch.

Dos, mediante el uso de un método de conteo de cuadrícula.
En este método, solo necesita dibujar cuadrículas en la imagen fractal, cada cuadro tiene una escala de 1 unidad. Luego dibuje nuevamente una cuadrícula en él, pero esta vez cada cuadro tenga una escala de 1/2. La parte de atrás, con cada cuadro con una escala de 1/4. Cuente el número de cajas por las que pasa el fractal. Puede calcular la dimensión usando la siguiente fórmula,

donde n( ) es el número de cuadrados que contiene la imagen y 1/s es su escala de cuadrícula. Ahora podemos calcular la Dimensión de la curva de Koch. A continuación se presentan tres cuadrículas de escala en la proporción 1: 1/2: 1/4. Al contar, se encontró que el número de casillas de la primera, segunda y tercera cuadrícula era 18, 41 y 105 respectivamente.

Cálculo de la dimensión utilizando la cuadrícula de escala 1 y 1/2,

Cálculo de la dimensión utilizando la cuadrícula de escala 1 y 1/4,

Cálculo de la dimensión utilizando la cuadrícula de escala 1/2 y 1/4,

Al encontrar el promedio de estos tres valores, se encontró que era aproximadamente 1,27. Esto está cerca de 1,26, que es la dimensión original de la curva de Koch.

Por lo tanto, estas son dos formas simples en las que puedes calcular la dimensión fractal de una imagen fractal.