La constante de Euler

"mi". Todos nosotros nos hemos encontrado con "e". ¿Qué es?

Es el quinto alfabeto y la segunda vocal en el idioma inglés. Es lo que decimos cuando mostramos a alguien nuestros dientes. Pero los matemáticos la reconocen como la constante de Euler . Junto a otras constantes matemáticas importantes como π, i, Φ, sqrt{2}, etc., este número irracional constante tiene un valor de 2.718281828459045235……

La mayoría de las constantes matemáticas son geométricas. Por ejemplo, π es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, sqrt{2} es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden la unidad. Pero, "e" es una constante que no está definida por la geometría o cualquier forma. Se basa en el crecimiento o tasa de cambio. ¿Pero cómo?

Volvamos al siglo XVII, cuando Jacob Bernoulli estaba trabajando en el interés compuesto, es decir, ganar interés en su dinero.

Supongamos que eres parte de un banco, un banco muy generoso. Digamos que le dio al banco ₹ 1 y el banco le da un interés del 100% anual. (Un banco muy generoso de hecho). Así que ahora, hacia fin de año, tendrás ₹ 2. Entonces, si gana un 50 % de interés cada 6 meses, ¿terminará con la misma cantidad, ₹ 2? ¿O más que eso? o menos que eso? Calculemos y veamos, ¿de acuerdo?

Bueno, esto demuestra que si tomas un interés del 50 % cada 6 meses, te ayudará a ganar más que tener un interés del 100 % anual. ¿Qué pasa si toma 1/12 de interés cada mes?

Entonces, será,

Si se da 1/52 de interés por semana, su cantidad final sería,

¿Qué pasa con 1/365 de interés cada día, entonces su cantidad hacia el final del año después de dar ₹ 1 al banco sería,

¡Puede calcular de manera similar la cantidad de dinero que obtiene cada hora, cada minuto, cada segundo o incluso cada milisegundo!

Entonces, ¿qué observas? El valor se calcula a medida que n aumenta utilizando la fórmula general, como

Entonces, puede notar que a medida que aumenta el valor de n, el valor se acerca cada vez más a un cierto valor. Este es el valor de "e".

Pero, Jacob Bernoulli no calculó el valor de la constante. Simplemente sabía que su valor estaría entre 2 y 3. Fue Euler quien finalmente calculó esta constante y demostró que era irracional. Usó una fórmula para calcular el valor, no

Pero otra fórmula. Usó la siguiente fórmula.

Esta es una fracción continua . Puedes decir que a medida que continúa para siempre, hay un patrón para esta fracción, 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,…… Entonces, si continúa para siempre, entonces, es una fracción irracional. Si hubiera terminado, habría sido racional ya que puedes escribirlo como una fracción. Por lo tanto, esto prueba que "e" es una constante irracional.

Para calcular el valor de “e”, Euler usó una fórmula diferente. Es decir,

“e”, es el lenguaje natural del crecimiento, es el lenguaje natural del cálculo. ¿Por qué?

La figura anterior muestra el gráfico de e^x. Ahora, la especialidad de un gráfico e^x es que, si toma cualquier punto del gráfico, el valor de ese punto es e^x, el gradiente en ese punto es e^x y el área bajo el gráfico desde ese punto en adelante a -∞ también es e^x. Por lo tanto, cuando integras o derivas e^x, obtienes e^x en sí mismo. Esta constante “e”, forma una herramienta muy fuerte en cálculo.

También se sabe que la constante de Euler "e" reúne algunas de las grandes constantes en matemáticas en una fórmula, es decir, la raíz de -1, que es i, π, 1 y 0. Esto también se denomina muchas veces como el más hermosa ecuación en matemáticas:

Escribiré más sobre esta ecuación en un próximo artículo.