Bijection continue $f: X \to Y$ depuis un espace compact $X$ dans un espace Hausdorff $Y$

Question

Supposer $X$ est un espace compact et $Y$ Hausdorff est-il tel que $f: X \to Y$est une bijection continue. Lequel des énoncés suivants est vrai?

(JE) $f$ est ouvert.

(II) $f$ est un homéomorphisme local.

(III) $f^{-1}$ est continue.

Quelques observations et questions:

1. $Y$ est compacte car l'image continue d'un ensemble compact est toujours compacte.

2. Depuis $f$ est continue, la pré-image de chaque ensemble ouvert dans $Y$ est un ensemble ouvert dans $X$. Mais pouvons-nous être sûrs que chaque ensemble ouvert$X$ est mappé à un ensemble ouvert dans $Y$ par $f$? Pourquoi ou pourquoi pas?

3. L'homéomorphisme local est un nouveau terme pour moi. Wikipédia dit que$f$ est un homéomorphisme local si chaque point de $X$ a un voisinage (ensemble ouvert contenant le point) qui est homéomorphe à un sous-ensemble ouvert de $Y$. Je ne sais pas si$f$est localement homéomorphe ou non. Des idées?

4. Pour $f^{-1}$ pour être continu, nous avons besoin que la pré-image de chaque ensemble ouvert dans $X$ est un ensemble ouvert dans $Y$ en dessous de $f^{-1}$. Est-ce en quelque sorte lié au fait de savoir si$f$est une carte ouverte? Eh bien, je pense que oui. Si$f$ est ouvert, chaque ensemble ouvert dans $X$ est mappé à un ensemble ouvert dans $Y$. Et depuis$f$ est continue, la pré-image (image sous $f^{-1}$) de chaque ensemble ouvert dans $Y$ est un ensemble ouvert dans $X$. Ainsi, si$f$ est ouvert, les ensembles ouverts dans $X$ et $Y$ sera en bijection, et forcément $f^{-1}$sera continue. Donc je pense que si (I) est vrai, (III) suit immédiatement. Est-ce correct?

Answer 1

Je suis vrai comme $f$est fermé, comme je l'ai montré ici , en bref:$C \subseteq X$ fermé, implique $C$ compact, donc $f[C]$ compact et un sous-ensemble compact d'un espace Hausdorff est fermé, donc $f[C]$ est fermé.

Et une bijection obéit $f[X\setminus O]=Y\setminus f[O]$ donc quand $O \subseteq X$ est ouvert, $ X\setminus O$ est fermée, donc son image est fermée et ainsi $f[O]= Y\setminus f[X\setminus O]$ est ouvert dans $Y$.

Alors $f$ est une bijection continue ouverte (et fermée) et donc un homéomorphisme (si $g: Y \to X$ est la carte inverse, $g^{-1}[O]=f[O]$ est ouvert dans $Y$ pour tous ouvert $O$ dans $X$. Donc III tient aussi.

II est alors trivial, car on peut pour chacun $x \in X$ prendre $X$ être un quartier homéomorphe à $Y$ (qui est trivialement un quartier de $f(x)$). Un homéomorphisme est trivialement un homéomorphisme local.

Donc tous découlent assez directement du fait que nous avons déjà même sans bijection mais juste une continuité: $f$ est une carte fermée.