Bruit de Nyquist et équilibrage thermique

Question

Soit deux résistances à éléments localisés identiques $R_1=R_2$ dont les capacités calorifiques sont également égales et données $C_1=C_2$. Nous supposons que les résistances sont fixées à des thermostats, une à température$T_1$ et l'autre à température $T_2$ mais $T_1 \ne T_2$. Séparez maintenant les résistances de leurs thermostats respectifs et connectez les résistances à une ligne de transmission qui a une très faible perte (idéalement sans perte), et telle que son conducteur métallique a également une conductivité thermique très faible (idéalement nulle). Je sais que c'est une contradiction selon Wiedemann-Franz, mais je le suppose pour le bien de l'argumentation. Je m'attends à ce qu'en raison du bruit de Nyquist émis par les résistances, elles finiront par atteindre une température commune, et puisque nous supposons des capacités thermiques égales,$C_1=C_2$, la température commune sera $(T_1+T_2)/2$.

Maintenant quelque part le long de la ligne de transmission dont l'impédance d'onde est $Z_0=R_1=R_2$ nous plaçons un filtre réactif sans perte idéal et / ou un transformateur d'impédance idéal ($I_2=I_1/N, V_2=NV_1$). Comment le système s'équilibrera-t-il si toutes les fréquences ne sont pas autorisées à passer par le filtre (par exemple, le transformateur ne fonctionne pas à$f=0$)? Quelle est l'équation qui décrit l'évolution de la température de chaque résistance lorsque des ondes de bruit sont échangées entre elles?

Answer 1

La puissance électrique thermique disponible à chaque résistance est donnée par kTB, où k est la constante de Boltzmann, T est la température en Kelvin et B est la bande passante en Hertz à travers laquelle le bruit est observé. La puissance passera de la résistance chaude à la résistance froide à une vitesse k (T1-T2) B. Le résultat sera une convergence exponentielle sur une température (T1 + T2) / 2 avec une constante de temps C / kB.
La question, bien sûr, est de savoir ce qu'il faut supposer pour la bande passante, B. Le bruit électrique thermique est à peu près constant jusqu'à une fréquence de kT / h où h est la constante de Planck. Tout réseau électrique aura une bande passante bien inférieure à cela. Vous pouvez raisonnablement prendre B comme l'intégrale par rapport à la fréquence du coefficient de transmission de puissance entre les deux résistances à travers le circuit qui les relie. Les spécificités dont les fréquences sont passées et qui sont arrêtées sont sans importance puisque l'énergie s'équilbre rapidement par interactions d'électrons, etc.