Calcul impliquant des formes différentielles complexes

Question

Je lis cette note de cours sur la géométrie complexe et je suis coincé dans un calcul (apparemment basique) impliquant des formes différentielles complexes. Supposer$X$ est une surface complexe et $\omega$ est une forme holomorphe (1,0), ie $\omega$ est tué par l'opérateur $\overline{\partial}$. Laisser$\overline{\omega}$être la forme conjuguée (0,1) correspondante. L'auteur affirme que

\ begin {équation *} d (\ omega \ wedge \ overline {\ omega}) = d \ omega \ wedge d \ overline {\ omega} \ end {équation *}

Maintenant depuis $\partial \omega = \overline{\overline{\partial} \overline{\omega}}$, le côté droit n'est rien d'autre que $\partial{\omega} \wedge \overline{\partial} \overline{\omega}$. Mais je ne vois pas comment le côté gauche peut être écrit dans la même expression (en utilisant la règle habituelle pour les dérivés extérieurs). Toute perspicacité sera appréciée.

Answer 1

Le LHS $d(\omega \wedge \overline\omega)$ est une forme à trois tandis que le RHS $d\omega \wedge d\overline\omega$est une forme à quatre. Ils ne sont pas les mêmes.

En regardant la note, ils ont écrit

Maintenant par le théorème de Stokes $\int d\omega \wedge d\overline\omega = 0$ (car $ d(\omega \wedge \overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega} $).

Je pense que c'est juste une faute de frappe $$d(\omega \wedge d\overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega}.$$