Comment écrire formellement un espace euclidien avec des symboles?
Un espace est un tuple ordonné, où le premier élément est un ensemble et les éléments suivants décrivent la structure ajoutée, par exemple $(X, m)$ pour un espace métrique, $(X, \tau)$pour un espace topologique. Quels sont les éléments suivants pour un espace euclidien?
Autant que je sache, nous avons besoin
- $X=\mathbb R^n$ est l'ensemble de tous les n-uplets de nombres réels (avec $n\in\mathbb N$)
- nous avons besoin des éléments de $X$ être des vecteurs - si linéairement combinables avec la multiplication scalaire $\times$, le champ $F$ et addition $+$.
- un produit scalaire $\cdot$ entre les éléments de $X$.
- une norme pour les éléments de $X$. Est-ce que cela est intrinsèquement inclus dans le produit scalaire ou dois-je l'indiquer explicitement pour être précis? N'ai-je pas besoin d'un supplément "$-$"? http://faculty.cord.edu/ahendric/2008Fall210/subsub.pdf suggère que cela soit également inclus dans le "$+$".
- l'exhaustivité de $X$ (est-ce intrinsèquement inclus dans le fait que $X=\mathbb R^n$?)
- une métrique (je pense que cela est également intrinsèquement inclus dans la norme et le fait que les éléments de $X$ sont des vecteurs, non?)
De cela, j'en déduis qu'un espace euclidien est $(\mathbb R^n, \cdot, +, F, \times)$. J'ai peut-être aussi besoin d'un "$-$".
Alors: comment écrire formellement un espace euclidien avec des symboles?
Réponses
Vous avez déjà noté un espace euclidien dans votre question: $\mathbb{R}$.
La seule autre chose que je puisse penser que vous voudrez peut-être inclure est votre métrique. Dire$(\mathbb{R},d)$ est un espace métrique et définit d, qui est la distance de deux points quelconques.
Il y a quelques axiomes à retenir pour les métriques:
$d(x,x)=0$
$d(x,y)>0$
$d(x,y)=d(y,x)$
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (appelé l'inégalité du triangle; pensez à un triangle rectangle, et vous marchez en diagonale pour arriver là où vous devez aller)
Il existe de nombreuses métriques que nous pourrions définir pour un espace comme $\mathbb{R^2}$, le vrai avion; l'être le plus commun$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
ÉDITER:
Vous auriez besoin d'apprendre une topologie, je suppose. Le produit cartésien n'est qu'un exemple d'un concept plus général qui est celui des espaces de produits. En topologie, nous discutons de la continuité et des ensembles ouverts (ils ne sont pas tous définis de la même manière). Dire$X,Y$ sont les espaces topologiques, et l'ensemble, $U_{X_i}$ et $V_{Y_i}$ sont ouverts dans leurs topologies respectives.
Nous définissons la topologie sur l' espace produit $X\,\,x\,\, V$en disant simplement qu'il "hérite" de la topologie des deux autres espaces. Un sous-ensemble de$X\,\,x\,\, V$ est ouvert si seulement si $U\subset X$ et $V\subset Y$sont tous les deux ouverts. Cela s'applique exactement de la même manière à nos espaces métriques standard, mais au lieu de cela, l'espace produit héritera de la métrique, qui peut être considérée comme nous donnant une idée de ce qu'est «ouvert» aussi!