Comment étaient les amplitudes des$\cos$et$\sin$choisi?

Question

Je ne comprends pas pourquoi nous utilisons$\displaystyle\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}$dans la transformation ci-dessous. Quelqu'un peut-il aider à expliquer?

de

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^t\left(\cos(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\right)$$

transformer en

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\cos(2t)+\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\sin(2t)\right)$$

laisser$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\cos\phi$et$\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\sin\phi$,

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t(\cos\phi\cos(2t)+\sin\phi\sin(2t))$$

Answer 1

Concentrons-nous sur la partie importante, qui est de la forme$$ f(x)=a\cos x+b\sin x $$que nous voulons exprimer comme$$ f(x)=A(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x) $$Une condition nécessaire (et suffisante) est que$$ A\cos\varphi=a,\qquad A\sin\varphi=b $$et donc$a^2=A^2\cos^2\varphi$,$b^2=A^2\sin^2\varphi$. Ainsi$$ A^2=a^2+b^2 $$Nous voulons$A>0$(pas nécessaire, mais pratique), on obtient donc$$ A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \cos\varphi=\frac{a}{A},\quad \sin\varphi=\frac{b}{A} $$Les deux dernières conditions peuvent être remplies, car$(a/A,b/A)$est un point du cercle unité.

Answer 2

C'est une façon de normaliser le vecteur$v=(a,b)=\left(1,\frac12\right)$C'est

$$|v|=\sqrt{a^2+b^2} \implies \hat v=\frac{v}{|v|}$$

a une longueur égale à$1$et cela permet d'effectuer la transformation ultérieure pour$\cos \phi$et$\sin \phi$.