Comment montrer que ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ n'est pas absolument convergent?

Question

Ceci est tiré de l'analyse complexe de Shakarchi et Stein dans le chapitre des fonctions elliptiques.

Comment montrer que ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ n'est pas absolument convergente, où $\wedge$est un double réseau dans un plan complexe? Il me semble difficile de montrer la convergence absolue des sommes infinies complexes. Peut-être que je peux essayer de relier cette série et utiliser le fait de la vraie série, mais je ne sais pas comment.

Answer 1

Par une rotation, nous pouvons supposer que le réseau est $m+n\tau, \tau=a+ib, b>0$ et wlog nous pouvons supposer $a \ge 0$ sinon nous utilisons $n <0$ dans ce qui suit.

Réparer $z=x+iy$, donc $|z+m+na+inb|^2=(m+na+x)^2+(nb+y)^2$.

Puis si $Nb>|y|$, on a $(nb+y)^2<4b^2n^2, n \ge N$

et de même $M>0, M+Na >|x|$ implique $(m+na+x)^2<4(m+na)^2, m \ge M, n \ge N$

Cela signifie que $\frac{1}{|z+m+na|^2} \ge \frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}, m \ge M, n \ge N$

Mais maintenant, additionnant seulement ces termes et appelant cette somme $S$ nous obtenons cela:

$S \ge \sum_{m \ge M, n \ge N}\frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}$

En utilisant cela, une double série de nombres positifs peut être interchangée à volonté (avec le même résultat soit fini soit infini), nous obtenons immédiatement (car la somme diminue en $m$) que pour fixe $n \ge N$:

$\sum_{m \ge M}\frac{1}{b^2n^2+(m+na)^2} \ge \int_{M+1}^{\infty}\frac{dt}{b^2n^2+(t+na)^2}=$

$=\frac{1}{bn} \tan^{-1}(\frac{t+na}{nb})|_{t=M+1}^{t=\infty}=\frac{1}{bn}(\pi/2-\tan^{-1}(\frac{M+1+na}{nb})) \ge \frac{1}{bn}(\pi/2-c) =A/n, n \ge N$

où $c=\tan^{-1}(\frac{M+1+Na}{Nb})$ comme $\frac{M+1+na}{nb} \le \frac{M+1+Na}{Nb}, n \ge N$ et l'arc tangente augmente

Mais cela montre que $S \ge \sum_{n \ge N}\frac{A}{4n}=\infty$ donc la double série de valeurs absolues sur un sous-ensemble de treillis est déjà infinie et nous avons terminé!