Comment obtenir la limite suivante: $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$

Question

Comment obtenir la limite suivante:

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$$

Si je laisse $x=r\cos \theta$ et $y=r\sin \theta$ où $\theta\in (0, \pi/2)$, puis $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\frac{r^5\cos^4\theta\sin\theta}{r^8\cos^8\theta+r^2\sin^2\theta}$$

Il semble que la limite n'existe pas.

Answer 1

Dans ce cas, souvent une bonne stratégie consiste à utiliser un changement de variable pour rendre les exposants égaux au dénominateur, en effet laissez $x^4=u$ et $y=v$ puis

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\lim_{(u,v)\to (0,0)}\frac{uv}{u^2+v^2}$$

et on peut facilement conclure par exemple par des coordonnées polaires ou en supposant deux chemins différents comme $u=\pm v$.

Answer 2

Le long de la courbe $y=x^{4}$ la limite est $\frac 1 2 $ et le long $y=0$ il est $0$. Par conséquent, la limite n'existe pas.