Comment simplifier par calcul une expression combinatoire?

Aug 19 2020

J'ai l'expression suivante, $$\sum_{m=1}^{n}\sum_{k=m}^{n} (-1)^{k-m} {k\choose m} P_k$$$P_k$ est une fonction arbitraire qui ne dépend que de $k$.

Maintenant, il est facile de voir que cette expression calculera les mêmes choses encore et encore. Y a-t-il une représentation plus compacte pour cela qui surmonte ce problème? (Je ne veux pas d'une solution de calcul mais plutôt d'une solution algébrique qui reflète les économies de calcul)

Réponses

4 BrianM.Scott Aug 19 2020 at 21:12

Peter Foreman dans les commentaires est correct. Inversez l'ordre de sommation et utilisez la formule binomiale:

$$\begin{align*} \sum_{m=1}^n\sum_{k=m}^n(-1)^{k-m}\binom{k}mP_k&=\sum_{k=1}^nP_k\sum_{m=1}^k(-1)^{k-m}\binom{k}m\\ &=\sum_{k=1}^nP_k\left(\underbrace{\sum_{m=0}^k(-1)^{k-m}\binom{k}m}_{=0}-(-1)^k\right)\\ &=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}P_k \end{align*}$$