Comment simplifier par calcul une expression combinatoire?
J'ai l'expression suivante, $$\sum_{m=1}^{n}\sum_{k=m}^{n} (-1)^{k-m} {k\choose m} P_k$$ où $P_k$ est une fonction arbitraire qui ne dépend que de $k$.
Maintenant, il est facile de voir que cette expression calculera les mêmes choses encore et encore. Y a-t-il une représentation plus compacte pour cela qui surmonte ce problème? (Je ne veux pas d'une solution de calcul mais plutôt d'une solution algébrique qui reflète les économies de calcul)
Réponses
Peter Foreman dans les commentaires est correct. Inversez l'ordre de sommation et utilisez la formule binomiale:
$$\begin{align*} \sum_{m=1}^n\sum_{k=m}^n(-1)^{k-m}\binom{k}mP_k&=\sum_{k=1}^nP_k\sum_{m=1}^k(-1)^{k-m}\binom{k}m\\ &=\sum_{k=1}^nP_k\left(\underbrace{\sum_{m=0}^k(-1)^{k-m}\binom{k}m}_{=0}-(-1)^k\right)\\ &=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}P_k \end{align*}$$