Comment trouver le nombre de fonctions polynomiales distinctes à partir de $\mathbb{Z}_2$ à $\mathbb{Z}_2$? [dupliquer]

Aug 18 2020

Pour tout entier positif $n$, combien y a-t-il de polynômes de degré $n$ plus de $\mathbb{Z}_2$? Combien de polynômes distincts fonctionnent à partir de$\mathbb{Z}_2$ à $\mathbb{Z}_2$?

Tentative: la première partie est claire pour moi puisqu'il y a $2$ choix pour chaque coefficient et il y a $n$ coefficient donc il y a $2^n$ces polynômes. J'ai du mal à comprendre la deuxième partie où j'ai besoin de trouver des fonctions polynomiales distinctes.

Si je suppose $p(x)$ et $p'(x)$ sont deux fonctions polynomiales égales sur $\mathbb{Z}_2$ tel que $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ et $p'(x)=a'_nx^n+\cdots+a'_0$, puis $p'(x)=p(x)$ pour $x=0,1$. Alors$a'_0=a_0$. Et puisque le degré de ces polynômes est$n$ puis $a_n=a'_n=1$. Donc, pour trouver des fonctions polynomiales distinctes, nous devons considérer quand$p(x)$ ne peut pas être égal à $p'(x)$ pour chaque valeur de $x\in\{0,1\}$. De là, je ne peux pas continuer. Je cherchais des solutions. Partout je vois qu'ils ont commencé la dispute avec le fait qu'il n'y a que$4$ces polynômes, puis ils donnent les exemples de tels polynômes. J'ai besoin d'aide pour comprendre ce problème. Je vous remercie

Réponses

5 Crostul Aug 18 2020 at 13:38

Il n'y a que 4 fonctions distinctes $f: \Bbb Z_2 \to \Bbb Z_2$. C'est parce que la cardinalité de l'ensemble des fonctions$A \to B$ est $$|B^A|=|B|^{|A|}$$ n'importe quand $A,B$ sont des ensembles finis.

Il arrive que ce soient des fonctions polynomiales. En effet, ils sont$$f_1(x)=0$$ $$f_2(x)=1$$ $$f_3(x)=x$$ $$f_4(x)=1-x$$ Nous les avons donc tous trouvés.

3 RiversMcForge Aug 18 2020 at 13:59

Plus de $\Bbb{Z}_2$, le polynôme $x(x+1) = x^2 + x$ est identique $0$, ce qui signifie que je peux remplacer $x^2$ avec $x$dans n'importe quelle expression polynomiale et obtenir la même valeur. En utilisant cela à plusieurs reprises,$\Bbb{Z}_2$, le polynôme $$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n$$ donne toujours la même valeur que le polynôme $$a_0 + (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n)x,$$ et donc il n'y a que $4$ polynômes distinguables sur $\Bbb{Z}_2$, selon que $a_0 = 0$ ou $1$, et si $a_1 + a_2 + a_3 + ... +a_n = 0$ ou $1$.

JensSchwaiger Aug 18 2020 at 13:42

La réponse à votre première question devrait être $2^{n-1}$ plutôt que $2^{n}$ puisque le coefficient de $x^n$ est toujours $1$.

Pour la deuxième partie, notez que l'ensemble de toutes les fonctions polynomiales est l'ensemble de toutes les fonctions dans votre cas.

EDIT: A souligné dans le commentaire que la première partie de cette réponse est incorrecte.