Construire la résolution projective d'un complexe de chaînes

Question

J'essaye de construire la résolution projective dans la catégorie des complexes de chaînes de

$\dots \to 0 \to M \to 0 \to \dots$

Il semble qu'il devrait être possible de faire cela en termes de résolution projective de $M$ mais je suis complètement coincé.

Je sais qu'un complexe de chaîne projective est divisé exactement et formé par des projectifs, donc si nous considérons la résolution comme un complexe double demi-plan, la colonne avec $M$ doit être une résolution projective de $M$.

J'essayais d'utiliser l'astuce de $0 \to P \to P \to 0$ est un complexe projectif quand $P$ est projectif, mais si je mets cela au-dessus de notre complexe, nous n'obtenons pas nécessairement l'exactitude.

Answer 1

Si $$\dots\to P_2\to P_1\to P_0 \to M\to0$$ est une résolution projective de $M$ en tant que module, alors $\dots\to0\to M\to0\to\dots$ a une résolution (par complexes de chaînes projectives) dans la catégorie des complexes de chaînes de la forme suivante (je vais vous laisser comprendre les différentiels):

$\require{AMScd}$ \ begin {CD} @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_2 @ >>> P_2 \ oplus P_1 @ >>> P_1 \ oplus P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_1 @ >>> P_1 \ oplus P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> 0 @ >> > 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> M @ >>> 0 @ >>> 0 @> >> 0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 \ end {CD}

Answer 2

Dans ce cas, vous êtes dans la catégorie des complexes bornés ci-dessus, où un $\textit{projective resolution}$ d'un complexe (dans ce cas $\bar{M}:\cdots\rightarrow 0\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\cdots$) désigne un complexe borné de projectifs $P$ avec un quasi-isomorphisme $P\rightarrow \bar{M}$. Donc, si vous prenez la résolution projective habituelle de$M$ en tant que module, $$\cdots\rightarrow P^{-n}\rightarrow P^{-n+1}\rightarrow\cdots\rightarrow P^{-1}\rightarrow P^{0}\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\cdots$$ on peut construire la résolution projective de $\bar{M}$ comme suit $\require{AMScd}$ \ begin {CD} \ cdots @ >>> P ^ {- 1} @ >>> P ^ {0} @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @V {f ^ {- 2}} VV @V {f ^ {- 1}} VV @V {f ^ {0}} VV @V {f ^ {1}} VV @V {f ^ {1}} VV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> M @ >>> 0 @ >>> \ cdots \ end {CD} où la flèche$f:\bar{P}\rightarrow \bar{M}$ est évidemment un quasi-isomorphisme.

Dans la catégorie homotopique $K(\mathscr{A})$ (où $\mathscr{A}$ est une catégorie abélienne comme la catégorie des modules sur un anneau) vous pouvez généraliser cela et en parler $K$-résolutions projet, complexes $X$ dans $K(\mathscr{A})$ qui vérifient que $Hom(X,Z)=0\ ,\ \forall Z\in\mathscr{Z}=\lbrace Z\in K(\mathscr{A})\ \text{such that}\ H^{n}(Z)=0\ \forall \ n\in\ \mathbb{N} \rbrace $.

La bonne chose est que si $P$ est un complexe de projectifs borné au-dessus, alors est $K$-projectif.