Correspondance entre la représentation de $SL(2,\mathbb{C})$et de $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$

Nov 27 2020

Pour le groupe de Lie$SL(2,\mathbb{C})$considérer les représentations définies par

$\begin{equation}\Pi_1:SL(2,\mathbb{C})\to GL(2,\mathbb{C}), A\mapsto A\end{equation}$

et

$\begin{equation}\Pi_2:SL(2,\mathbb{C})\to GL(2,\mathbb{C}), A\mapsto A^*\end{equation}$

$A^*$est le complexe élémentaire conjugué de$A$. Autant que je sache, ceux-ci sont à la fois irréductibles et non isomorphes.

D'autre part, les deux représentations correspondent à une représentation unique en algèbre de mensonge de$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$de dimension 2,$\pi_1,\pi_2$. Maintenant, il n'y a qu'une seule représentation lie-algbera de$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$de dimension 2, à isomorphisme près.

D'où$\pi_1\cong \pi_2$. Un autre théorème dit que$\pi_1$et$\pi_2$sont isomophriques si et seulement si$\Pi_1$et$\Pi_2$sont isomorphes.

Mais$\Pi_1 \not\cong \Pi_2$.

Ma question est où exactement l'erreur est. Ai-je raté quelque chose d'évident? Quelle étape est erronée et pourquoi ?

Réponses

3 QiaochuYuan Nov 27 2020 at 23:02

Si vous différenciez réellement$\Pi_2$vous constaterez simplement que vous n'obtenez pas une représentation complexe de$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, donc le théorème que vous citez classant de telles représentations ne s'applique pas. Comme le dit Moishe dans les commentaires, la solution consiste à ne considérer que les représentations holomorphes, ce qui$\Pi_2$n'est pas.