Dérivée des bases covariantes et contravariantes
Comment montrer que
$\overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial_\mu \overrightarrow{\textbf{e}}_\nu = \overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial^\mu \overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$
où$\overrightarrow{\textbf{e}}_\nu$et$\overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$sont les vecteurs de base et de base double d'une variété?
Toute suggestion?
Merci!
Réponses
Où avez-vous trouvé cette affirmation ? La première expression${\bf e}_\sigma\cdot \partial_\mu{\bf e}_\nu$n'est pas covariante. Si l'on écrivait à la place${\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu$alors cela a du sens car le symbole Christoffel est défini par$$ \nabla_\mu {\bf e}_\nu = {\bf e}_\tau {\Gamma^\tau}_{\nu\mu} $$donnant
$$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu= g_{\sigma\alpha} {\Gamma^\alpha}_{\nu\mu} $$et avec$\nabla^\mu = g^{\mu\alpha}\nabla_\alpha $et avec l'action de la dérivée covariante sur un covecteur étant$\nabla_\alpha {\bf e}^\nu= - {\bf e}^{\tau}{\Gamma^\nu}_{\tau\mu}$on a$$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla^\mu{\bf e}^\nu = {\bf e}_\sigma (- {\bf e}^{\tau}){\Gamma^\nu}_{\tau\beta}g^{\beta\mu}=-{ \Gamma^\nu}_{\sigma \beta}g^{\beta\mu}. $$Ils diffèrent donc d'au moins le signe moins.
(désolé que je continue à éditer - je continue à faire des erreurs stupides)