Déterminez si $ \intop_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ converger

Aug 19 2020

Je dois déterminer si $\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ convergent / divergent.

Mon intuition est que l'intégrale converge, car $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x$ convergent du test de Dirichlet, donc l'addition de $ \frac{1}{x} $ ne devrait pas être une grande différence pour $ x\to\infty $.

Je suppose que la bonne façon de le prouver est de montrer que $\displaystyle \int_{1}^{u}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x $ est limité pour tout $ u $, puis je pourrais utiliser le test de Dirichlet. J'ai essayé et je n'ai pas pu le prouver.

Aussi, j'aimerais savoir ce que vous pensez de ma preuve que l'intégrale $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x $ converger.

J'ai utilisé le test de comparaison des limites de la manière suivante:

$ \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\frac{|\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)|}{x^{0.5}}}{\frac{1}{x^{0.8}}}=0 $

et depuis $ 0.8 <1 $ l'intégrale $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.8}}\mathrm{d}x $ convergent, donc l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{0.5}} \mathrm{d}x$ convergent absolument.

J'apprécierai de l'aide ici. Merci d'avance

Réponses

2 BarryCipra Aug 19 2020 at 17:53

Commencez par la formule d'addition d'angle:

$$\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin\left(x+{1\over x}\right)\,dx=\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx+\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\cos x\sin(1/x)\,dx$$

et notez que la deuxième intégrale incorrecte est convergente puisque $\sin(1/x)\lt1/x$ (pour $x\gt0$) et $\int_1^\infty{1\over x^{3/2}}\,dx$converge. Il reste donc à montrer que la première intégrale impropre est également convergente.

Pour ce faire, utilisez l'intégration par pièces avec $u=\cos(1/x)/\sqrt x$ et $dv=\sin x\,dx$, pour que $du=(\sin(1/x)/x^{5/2}-\cos(1/x)/(2x^{3/2}))dx$ et $v=-\cos x$:

$$\begin{align} \int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx &={-\cos(1/x)\cos x\over\sqrt x}\Big|_1^\infty+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx\\ &=\cos^21+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx \end{align}$$

où les deux dernières intégrales incorrectes sont à nouveau convergentes.

Quant à l'intégrale incorrecte de $0$ à $1$, la preuve du PO est correcte mais plus compliquée que nécessaire; il suffit de noter que${|\sin(x+1/x)|\over\sqrt x}\le{1\over\sqrt x}$.

JackD'Aurizio Aug 19 2020 at 22:50

Vous pouvez simplement laisser $x+\frac{1}{x}=z$ et obtenir $$ \int_{1}^{+\infty}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_{2}^{+\infty}\sin(z)\underbrace{\frac{\sqrt{z+\sqrt{z^2-4}}}{\sqrt{2}\sqrt{z^2-4}}}_{g(z)}\,dz $$$g(z)$ se comporte comme $\frac{C}{\sqrt{z-2}}$ dans un bon quartier de $z=2$ et il diminue au fil de $z>2$, depuis $$ g(2\cosh t) = \frac{e^{t/2}}{e^t-e^{-t}}=\sum_{n\geq 0}\exp\left(-\left(2n+\frac{1}{2}\right)t\right)$$ diminue clairement sur $\mathbb{R}^+$. Il s'ensuit que vous pouvez également appliquer le lemme de Dirichlet ici.