Equivalence entre deux définitions d'une catégorie ayant des objets exponentiels

Question

On dit qu'une catégorie avec des produits a des exponentielles si pour tous les objets$x, y$ il existe un objet $y^x$ équipé d'une flèche $e\colon x\times y^x\to y$ tel que pour tous les objets $z$ et toutes les flèches $f\colon x\times z\to y$ il y a une flèche unique $\bar{f}\colon z\to y^x$ satisfaisant $e\circ (id_x\times\bar{f})=f$.

Je vois que si une catégorie a des exponentielles, alors $f\mapsto \bar{f}$ est un isomorphisme naturel entre $hom(x\times z, y)$ et $hom(z, y^x)$ avec inverse $\bar{f}\mapsto id_x\times\bar{f}$. D'où le foncteur$x\times (-)$ est laissé adjoint à $(-)^x$.

Je m'interroge sur l'inverse: si $C$ est une catégorie avec des produits tels que $x\times (-)$ a un adjoint à droite, est-ce que cela suit $C$ a des exponentielles?

En particulier, si nous supposons simplement que $x\times (-)$ a un adjoint droit, comment équiper $y^x$ avec la flèche $e\colon x\times y^x\to y$. Aussi, comment déduire que l'équation$e\circ (id_x\times\bar{f})=f$ tient précisément?

D'une manière ou d'une autre, l'existence d'un adjoint droit de $x\times (-)$ semble plus faible et plus abstraite que la définition de propriété universelle d'une catégorie ayant des exponentielles donnée ci-dessus.

Answer 1

Je suppose qu'il faut AC pour choisir un objet $y^x$ pour chaque $x$ et $y$.

En acceptant cela, on obtient la flèche $e$du formalisme des unités / comtes en adjonctions. Si$F$ est un adjoint droit de $x\times(-)$ puis naturellement, $$\text{hom}(a,Fy)\cong\text{hom}(x\times a,y).$$ Prendre $a=Fy$. ensuite$$\text{hom}(Fy,Fy)\cong\text{hom}(x\times Fy,y).$$ L'identité de gauche correspond à un homomorphisme $e:x\times Fy\to y$sur la droite. Nous dénotons$Fy$ comme $y^x$, et ça $e:x\times y^x\to y$ est la carte exponentielle.