Est-il possible que$2^{2A}+2^{2B}$est un nombre carré ?
Soient A et B deux entiers positifs supérieurs à$0$. Est-il possible que$2^{2A}+2^{2B}$est un nombre carré ?
J'ai du mal avec cet exercice parce que j'ai l'impression que la réponse est non, mais je ne peux pas élaborer sur la preuve. Jusqu'à présent, ce que je pensais était de supposer qu'il existe un nombre entier$C>0$tel que$2^{2A}+2^{2B}=C^2$. Alors$$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$$J'essayais de voir si l'expression précédente pouvait contenir une contradiction mais je suis resté bloqué. Tout ce que j'ai pu trouver c'est que$C$doit être un nombre pair, mais cela ne semble pas me mener n'importe où. J'apprécierais toute aide.
Merci d'avance!
Réponses
Sans perte de généralité, soit$A>B$. Alors$2^{2A}+2^{2B}=2^{2B}(2^{2A-2B}+1)$est un carré implique$2^{2A-2B}+1$est un carré comme$2^{2B}$est un carré. Mais c'est impossible puisque$2^{2A-2B}$est un carré.
La réponse de Shubhrajit Bhattacharya donne une preuve simple et directe que$2^{2A}+2^{2B}$ne peut pas être un carré. Mais juste pour le plaisir, terminons l'approche du PO (que je pensais initialement mener à une impasse).
Si$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$, alors$(2^A+2^B+C)(2^A+2^B-C)=2^{A+B+1}$, ce qui signifie que$2^A+2^B+C$et$2^A+2^B-C$sont les deux puissances de$2$, et évidemment différentes puissances de$2$, dire$2^a$et$2^b$avec$a\gt b$et$a+b=A+B+1$. Mais cela implique
$$2(2^A+2^B)=2^a+2^b$$
Si nous supposons maintenant, sans perte de généralité, que$A\ge B$, Nous avons
$$2^{B+1}(2^{A-B}+1)=2^b(2^{a-b}+1)$$
À présent$a\gt b$implique$2^{a-b}+1$est un nombre impair supérieur à$1$, d'où il résulte que l'on doit avoir$A\gt B$(sinon le membre de gauche est une puissance de$2$, pas un multiple d'un nombre impair supérieur à$1$). Cela implique à son tour$b=B+1$et$a-b=A-B$, d'où l'on tire
$$a+b=(a-b)+2b=(A-B)+2(B+1)=A+B+2$$
en contradiction avec$a+b=A+B+1$.
Remarque : J'ai été un peu surpris par la nature de la contradiction ici, et j'ai dû vérifier attentivement mon travail pour m'assurer que je n'avais pas fait une erreur de calcul stupide.
Fais-le c'est tout.
Supposons sans perte de généralité que$A \le B$alors
$2^{2A} + 2^{2B}=$
$2^{2A} (1 + 2^{2B-2A})=$
$(2^A)^2 [1 + 2^{2B-2A}]=$
$(2^A)^2 [(2^{B-A})^2 + 1]$.
Donc, si c'est un carré parfait, alors nous devons avoir$(2^{B-A})^2 + 1$étant un carré parfait.
Mais$(2^{B-A})^2$est un carré parfait donc on a deux carrés parfaits consécutifs. Il devrait être facile de vous convaincre que la seule fois qui se produit est$0^2$et$1^2$. (Preuve en addenda).
Donc, la seule façon dont cela peut arriver est si$(2^{B-A})^2 = 0$et$(2^{B-A})^2 + 1=1$.
Mais$2^{B-A} = 0$n'est pas possible.
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Addendum : Alors seulement deux cases consécutives sont$0$et$1$.
Preuve : supposons$m^2 = n^2 + 1$. où$m,n$sont des entiers non négatifs.$n^2 < m^2 = n^2 + 1 \le n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$alors$n < m \le m+1$. Mais les seuls entiers entre$n$(exclusif) et$n+1$(inclusif) est$n+1$alors$m = n+1$. Et donc$n^2 + 1 = m^2 = (n+1) = n^2 + 2n + 1$alors$2n = 0$et$n = 0$et$m =1$.
Suppose que$2^{2A}+2^{2B}$est un carré parfait. Sans perte de généralité, supposons$A \geqslant B$. Puis laissez$A-B=x$, où$x$est un entier non négatif. Il s'ensuit que nous avons :$$2^{2A}+2^{2B}=(2^B)^2 \cdot (2^{2x}+1)$$Maintenant, si le LHS est un carré parfait, alors le RHS doit également être un carré parfait. Il s'ensuit que$2^{2x}+1$est un carré parfait. Que ce soit$n^2$. Nous avons alors :$$2^{2x}=n^2-1=(n-1)(n+1)$$Maintenant, nous avons besoin$n-1$et$n+1$être à la fois puissances parfaites de$2$. Cela ne peut arriver que pour$n=3$. Cependant, même alors, nous n'aurions que$2^{2x}=8$ce qui est impossible comme$x$est un entier. Ainsi, aucune solution n'existe.
Nous aurions$k^2=4^{A}+4^{B}\equiv 1+1= 2\pmod 3$, impossible comme$k^2 \equiv 0,1 \pmod 3$.