Existence d'une mesure de probabilité sur le cercle avec des coefficients de Fourier donnés

Question

Nous disons qu'un hermitien symétrique (ie, $f_{-n} = f_n^*$ pour toute $n \in \mathbb{Z})$ séquence $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ est défini positivement si, pour tout $N \geq 0$ et n'importe quel $z_0 , \ldots, z_N \in \mathbb{C}$, \ begin {équation} \ sum_ {n, m = 0} ^ N f_ {nm} z_n z_m ^ * \ geq 0. \ tag {1} \ end {équation}

Selon le théorème de Herglotz-Bochner, une suite symétrique hermitienne $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ avec $f_0 = 1$ est défini positivement si et seulement s'il existe une mesure de probabilité $\mu$ dans le cercle $\mathbb{T} = \mathbb{R} / \mathbb{Z}$tel que \ begin {équation} f_n = \ hat {\ mu} _n: = \ int _ {\ mathbb {T}} \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} nx} \ mathrm {d} \ mu (x). \ end {équation}

Supposons maintenant qu'on me donne un vecteur $(f_{-N_0} , \ldots, f_0 , \ldots , f_{N_0}) \in \mathbb{C}^{2N_0+1}$ tel que $f_0 = 1$ et $f_{-n} = f_n^*$ pour toute $|n|\leq N_0$ et tel que (1) vaut pour tout $N \leq N_0$. Est-il toujours possible de compléter le vecteur$(f_n)_{|n|\leq N_0}$ dans une séquence définie positive $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$, ou, de manière équivalente, y a-t-il toujours une mesure de probabilité $\mu$ dans $\mathbb{T}$ tel que $\hat{\mu}_n = f_n$ pour $|n|\leq N_0$?

Answer 1

Oui, cela fonctionne. La condition (1) dit que$\int |p(e^{ix})|^2\, d\mu(x)\ge 0$ pour chaque polynôme $p(z)=\sum_{n=0}^N p_n z^n$. D'après le théorème de Fejer-Riesz , ces carrés$|p|^2$ plage exactement sur les polynômes trigonométriques $f=\sum_{|n|\le N} f_n z^n$ avec $f\ge 0$ sur $|z|=1$.

On a donc une fonctionnelle linéaire positive sur cet espace vectoriel $\{ f = \sum_{|n|\le N} f_n z^n \}$. Cela peut être étendu à une fonctionnelle linéaire positive sur$C(T)$; voir ici pour le fond. Cette extension nous donne la mesure souhaitée.