$G_2$ comme le groupe des isométries d'un espace projectif

Question

Il semble que dans la classification des algèbres de mensonge complexes simples, chaque algèbre de mensonge correspond au groupe d'isométries d'un espace projectif. SO (n + 1) est le groupe d'isométries sur$RP^n$, SU (n + 1) est les isométries de $CP^n$, et SP (n + 1) est les isométries de $HP^n$.

John Baez explique dans son cours sur les octonions que les groupes de mensonge exceptionnels sont les groupes d'isométries pour les espaces projectifs construits à partir des octonions, comme on le voit dans le carré magique des algèbres de mensonge 1

$G_2$est le seul groupe de mensonges exceptionnel laissé en dehors de cette description, et est généralement décrit comme le groupe d'automorphismes des octoniens, ce qui est bien, mais suivant le modèle, il semble qu'il devrait également s'agir du groupe d'isométries d'une variété. Sait-on ce que serait cette variété?

Answer 1

Trop long pour un commentaire, mais pas une réponse complète:

Il y a une réalisation célèbre comme $G_2$ comme le groupe de symétrie «une boule roulant sur une autre boule avec 3 fois son rayon».

Je ne sais pas vraiment ce que cela signifie, mais chaque fois que vous inventez une paramétrisation sensée de toutes les configurations possibles des deux boules, il n'est pas difficile de se convaincre que son objet a la structure d'une variété. Peut-être que cette variété est la chose qui a$G_2$symétrie. D'un autre côté, ce ne sont que deux balles qui se touchent. Si, d'une manière ou d'une autre, la notion de roulement joue un rôle plus sérieux, il est moins évident de savoir si et comment l'histoire peut être reformulée comme une variété.

Mais un bon point de départ serait de google '$G_2$ Rolling Ball 'ou similaire et voyez ce que cela donne.

EDIT: cette citation de Wikipédia (la page sur $G_2$) le clafifie beaucoup:

En 1893, Élie Cartan publie une note décrivant un ensemble ouvert $\mathbb{C}^5$ équipé d'une distribution bidimensionnelle - c'est-à-dire d'un champ variant régulièrement de sous-espaces bidimensionnels de l'espace tangent - pour laquelle l'algèbre de Lie $\mathfrak{g}_{2}$apparaît comme les symétries infinitésimales. [2] La même année, dans le même journal, Engel a remarqué la même chose. Plus tard, il a été découvert que la distribution bidimensionnelle est étroitement liée à une balle roulant sur une autre balle. L'espace des configurations de la bille roulante est en 5 dimensions, avec une distribution en 2 dimensions qui décrit les mouvements de la bille où elle roule sans glisser ni se tordre.