Idéal sur $\mathbb{N}$ avec certains biens

Question

Laisser $\mathcal{I}$ être un idéal sur $\mathbb{N}$qui contient tous les ensembles finis et au moins un ensemble infini. Définir un filtre

$\mathcal{F}:=\{D\subseteq\mathbb{N}\mid \forall A\in\mathcal{I},A\cap D^{c}\text{ is finite, or equivalently} A\subseteq^{*}D\}$.

$\mathcal{F}$ contient le filtre cofinite, et il semble que si $\mathcal{I}$ est premier alors $\mathcal{F}$ne contient rien d'autre. L'inverse tient-il? En d'autres termes, disons qu'un idéal a la propriété P si le filtre correspondant est le filtre cofinite. Est-ce que P équivaut à être premier? Ou y a-t-il une simple caractérisation de P?

Quelqu'un a suggéré que cela équivaut à demander $\mathcal{E}\subseteq(\mathcal{P}_{coinf}(\mathbb{N}),\subseteq^{*})$ qui est illimité sous $\subseteq^{*}$et génère un idéal non premier approprié. J'ai trouvé que je ne sais rien de ce poset. Quel est son type de cofinal? Quelle est sa relation avec d'autres posets tels que$(\mathbb{N}^{\mathbb{N}},<^{*})$?

Contexte: je me demandais si nous définissions une topologie sur $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ en exigeant que certaines séquences convergent vers $\infty$, y aura-t-il plus (et quelles) séquences convergeant vers $\infty$que nous nous attendions. Voir aussi cette question.

Answer 1

Donné $P_1,P_2$ idéaux principaux non principaux sur $\mathbb{N}$ avec $P_1\neq P_2$, laisser $\mathcal{I}= P_1\cap P_2$. ensuite$\mathcal{I}$ est un idéal contenant tous les ensembles finis, mais pas premier (car il doit y en avoir $A\subseteq \mathbb{N}$ avec $A\notin P_1, A^c\notin P_2$).

pourtant $\mathcal{I}$ satisfait la propriété P: étant donné tout $D$ pas cofinite, on peut partitionner $D^c$ dans $4$ pièces infinies: $D_{11,}D_{12},D_{21},D_{22}$. ensuite$D_{i1}\cup D_{i2}\in P_1$ pour certains $i$ et $D_{1j}\cup D_{2j}\in P_2$ pour certains $j$. Donc$D_{ij}\in \mathcal{I}$ et $D_{ij}\cap D^c=D_{ij}$ est infini.

Answer 2

Laisser $X$ être une famille maximale presque disjointe de sous-ensembles de $\mathbb{N}$, et laissez $\mathcal{I}$ être l'idéal généré par $X$. ensuite$\mathcal{F}$ sera le filtre cofinite: si $D\in\mathcal{F}$ puis $D^c$ est presque disjoint de chaque élément de $X$, et doit donc être finie par la maximalité de $X$. cependant,$\mathcal{I}$n'est pas primordial. Par exemple, si vous prenez deux sous-familles disjointes et infinies$Y,Z\subset X$, puis par un simple argument de diagonalisation vous pouvez construire $A\subset\mathbb{N}$ qui contient presque tous les éléments de $Y$ et est presque disjoint de chaque élément de $Z$. ensuite$A\not\in\mathcal{I}$ puisque chaque élément de $\mathcal{I}$ a une intersection infinie avec seulement un nombre fini d'éléments de $X$, et $A^c\not\in\mathcal{I}$ pour la même raison.