Intégration constructive $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$

Question

En utilisant l'axiome du choix, il est prouvable que $\mathbb{R}$ est isomorphe à $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ comme un espace vectoriel sur $\mathbb{Q}$. (En supposant que AC, les deux espaces ont une base Hamel sur$\mathbb{Q}$ de même cardinalité et sont donc isomorphes.)

Ma question est donc de savoir si un tel isomorphisme entre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ peut être construit sans AC ou, au moins, si nous pouvons intégrer $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$sans AC. (En intégrant, je veux dire construire un injectif$\mathbb{Q}$-mappe linéaire d'un espace à l'autre.)

Cette dernière équivaut à se demander si l'on peut construire un sous-espace de $\mathbb{R}$ qui a une base schauder $\mathbb{Q}$, comme un tel sous-espace doit être automatiquement isomorphe à $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$.

Merci pour l'aide!

Answer 1

En fait, il est cohérent avec ZF qu'il n'y a pas d'homomorphismes non triviaux $\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$. Citant une réponse précédente où cela est apparu:

Il existe un modèle de ZF construit par Shelah dans lequel chaque ensemble de nombres réels a la propriété Baire . Cela implique, si je comprends bien, qu'il n'y a pas d'homomorphismes non nuls de$\mathbb{R}$à tout groupe abélien dénombrable (puisque tout groupe abélien dénombrable avec la topologie discrète est un groupe polonais , donc dans ce modèle tout homomorphisme de$\mathbb{R}$à un tel groupe est automatiquement mesurable et donc automatiquement continue). Alors$\mathbb{R}$, et $SO(2)$, n'ont pas de sous-groupes d'index dénombrable dans ce modèle.

Cela n'exclut pas la possibilité d'une intégration explicite $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$; Je ne suis pas sûr d'une manière ou d'une autre si une telle chose existe, mais je parie que non. Je parie que c'est cohérent avec ZF que chaque carte linéaire$\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$ facteurs par la projection vers un sous-ensemble fini de ses facteurs.