Isomorphisme $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z}$ [dupliquer]

Dec 02 2020

Je voudrais trouver un isomorphisme de groupe $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z} $. Par le théorème fondamental d'un groupe abélien fini et le théorème du reste chinois, nous savons que ces groupes sont isomorphes, mais je veux le montrer en construisant un isomorphisme.

Cependant, je ne sais pas quelle est la première étape. La seule chose que je sais c'est que$f(0,0)=(0,0)$ puisqu'un isomorphisme associe un élément d'identité à un élément d'identité.

Puis j'ai vu Comment construire un isomorphisme? et a essayé d'imiter le chemin, comme$f(x,y)=(x\mod{51},y\mod{187})$, mais ce n'est évidemment pas une surjection.

Maintenant je suis coincé ici. De l'aide?

Réponses

2 ParclyTaxel Dec 02 2020 at 13:49

Nous introduisons un groupe intermédiaire $\mathbb Z_{17}×\mathbb Z_3×\mathbb Z_{187}$. Représenter un élément arbitraire de ce groupe comme$(a,b,c)$ où les indices sont des résidus modulo $17,3,187$ respectivement.

Il y a un isomorphisme de ce groupe au domaine de $f$: $(a,b,c)\mapsto(a,187b+c)$. Il existe également un isomorphisme du codomaine de$f$: $(a,b,c)\mapsto(3a+b,c)$. Mettez ces deux isomorphismes ensemble et vous avez le$f$.