la fibre avec un seul point est isomorphe à la spécification d'un champ

Question

Laisser $R$ et $T$être des anneaux commutatifs avec l'unité. Laisser$Q$ être un idéal principal de $R$ et $\phi:R \to T$. Supposer $T \otimes_R (R_Q/Q R_Q)$n'a qu'un seul idéal primordial. Ensuite, je voudrais prouver que la carte verticale sur le côté gauche de \ begin {array} {cc} T \ otimes_R R_Q / Q R_Q & \ leftarrow & T \\ \ uparrow & & \ uparrow \\ R_Q / Q R_Q & \ leftarrow & R \ end {array}
est un isomorphisme. Comment puis-je le prouver?

Je pensais pouvoir le prouver en montrant que compte tenu de tout $t \otimes r$, nous avons $t \otimes r = 1 \otimes s$ pour certains $s \in R_Q/Q R_Q$, mais cela ne semble fonctionner que si $t$ est à l'image de $\phi$...

Éditer. La question posée ne semble pas correcte, comme on peut le voir dans le commentaire. Quelles hypothèses puis-je ajouter pour que cela soit vrai? J'essaye de comprendre les détails d'une preuve à Mumford la fibre de$f$ plus de $y$ est $\operatorname{Spec} \kappa(y)$ donné $f^{\#}(\mathfrak{m}_y) O_{X,x} = \mathfrak{m}_x$. Merci

Answer 1

Lemme: Let $f:X\rightarrow Y$être un morphisme de schémas. ensuite$f^{-1}(p) \cong X\times_{Y} \kappa(p)$ comme ensembles où $\kappa (p)$ est le champ de résidus à $p\in Y$.

Preuve: supposer $X=\operatorname{Spec}A,Y=\operatorname{Spec}B$ sont affines et $p\in \operatorname{Spec} B$. Ensemble$S=B\backslash p$. Ensuite, nous avons les correspondances 1-1 suivantes $$f^{-1}(p)\leftrightarrow\{P\in \operatorname{Spec}A : P\cap B=p \}\leftrightarrow \{P \in \operatorname {Spec}A : P\supseteq pA \ , \ P \cap {B\backslash p}=\phi \} $$ $$\leftrightarrow \operatorname {Spec} \frac{S^{-1}A}{pS^{-1}A} \cong \operatorname {Spec} A\otimes_ B \frac{B_p }{pB_p}=X\times_Y \operatorname {Spec}\kappa(p) $$

Vous utilisez maintenant un argument de correction pour compléter la preuve.

Alors vous demandez quand $\frac{A_p }{pA_p}$ est un champ supposant $\operatorname {Spec} \frac{A_p}{pA_p}$est un singleton. Laisser$P\in \operatorname {Spec} {A}$ être le premier idéal unique tel que $P\cap B\backslash p =\phi $ et $P\supset pA$. ensuite$\frac{A_p }{pA_p}$ est un champ siff $pA_p =PA_p$, à savoir l'idéal maximal de $\mathcal O_{Y,p}$ génère l'idéal maximal de $\mathcal O_{X,P}$ qui est précisément ce qui est donné dans la question que vous avez liée.