Le groupe fondamental de boucles d'oreilles hawaïennes est indénombrable

Question

Je dois montrer un groupe fondamental de boucles d'oreilles hawaïennes ($H=\cup^{\infty}_{n=1}K_{n}$, où $K_{n}$ est le cercle centré sur $\frac{1}{n}$ avec rayon $\frac{1}{n}$) est indénombrable, sans utiliser le théorème de Seifert-van Kampen. J'ai donc proposé deux idées de preuve:

1.Dénoter $[n]_{m}$ soit la boucle qui parcourt n fois dans le sens anti-horaire $K_{m}$. ensuite$\{[n_{1}]_{1}[n_{2}]_{2}...|n_{i}\in\mathbb{Z}, i\in\mathbb{N}\}$ est indénombrable, puisque chaque élément de cet ensemble appartient à $\pi_{1}(H,0)$, le groupe fondamental est donc indénombrable.

2. en utilisant la même notation ci-dessus, l'ensemble $\{[1]_{f(1)}[1]_{f(2)}...|f $ est une carte bijective de $\mathbb{N} $ à lui-même$\}$ est indénombrable, puisque $f$est une réorganisation des nombres naturels et il existe un nombre incalculable de réordonnancement. Ainsi cet ensemble en tant que sous-ensemble du groupe fondamental, le groupe lui-même est indénombrable.

S'agit-il d'une idée valable de preuve?

Answer 1

Vos idées sont correctes, mais vous devez expliquer comment vous considérez un élément de $\mathbb Z^{\mathbb N}$ en tant qu'élément de $\pi_1(H)$ et que la fonction résultante $\phi : \mathbb Z^{\mathbb N} \to \pi_1(H)$est injectif. Laissez-nous élaborer 1.

Laissez-nous écrire $l_n^m : [0,1] \to K_n$ pour la boucle basée sur $0$ qui se déplace dans le sens anti-horaire $m$ fois autour $K_n$. Explicitement,$l_n^m(t) = \frac{1}{n}(1- e^{2m\pi i t})$. Définir

$$\psi((m_n)) : [0,1] \to H, \psi((m_n))(t) = \begin{cases}l_n^{m_n} (n(n+1)t - n) & t \in [\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}] \\ 0 & t = 0 \end{cases}$$ Il s'agit d'une carte continue bien définie (puisque chaque quartier de $0$ contient tout sauf un nombre fini $K_n$). Laisser$\phi((m_n)) = [\psi((m_n))]$, où $[-]$ désigne la classe d'homotopie des chemins.

Montrons que $\phi$est injectif. Il y a une rétractation$r_n : H \to K_n$ qui cartographie tout $K_r$, $r \ne n$, à $0$. Laisser$i_n : K_n \to H$dénotent l'inclusion. La carte$F_n = (r_n)_* \circ \phi$ a la propriété que la séquence $(m_n)$ est envoyé à la classe d'homotopie du chemin donné par $l_n^{m_n} (n(n+1)t - n)$ pour $t \in [\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ et cartographie tous les autres $t$ à $0$. Ce chemin est clairement homotope à$l_n^{m_n}$. Ainsi, si$\phi((m_n)) = \phi((m'_n))$, puis $F_n((m_n)) = F_n((m'_n))$ pour tous $n$, c'est à dire $[l_n^{m_n}] = [l_n^{m'_n}]$ pour tous $n$. Mais cela implique$m_n = m'_n$ pour tous $n$.

Identifier $\pi_1(K_n)$ avec $\mathbb Z$ via l'isomorphisme $\iota_n : \mathbb Z \to \pi_1(K_n), \iota_n(m) = [l_n^m]$, nous pouvons l'exprimer autrement comme suit: L'homomorphisme $$R : \pi_1(H) \to \mathbb Z^{\mathbb N}, R(u) = ((\iota_n)^{-1}(r_n)_*(u))$$ a la propriété $R \circ \phi = id$.

Jetez également un œil au groupe fondamental de la cartographie du cône de la carte du quotient de la suspension à la suspension réduite .