Les endomorphismes de la représentation adjointe d'une algèbre de Lie commutent-ils?
Étant donné un champ $k$ de caractéristique $0$ et une algèbre de Lie simple de dimension finie $\mathfrak{g}$ plus de $k$. Considérons la représentation adjointe$(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ de $\mathfrak{g}$ et laissez $\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ désignent l'anneau de $\mathfrak{g}$-module endomorphismes par rapport à cette représentation.
La réclamation est: $\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ est une extension de champ de $k$ et $\dim_k\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ est égal au nombre de composants simples de $g \otimes_k \overline{k}$ où $\overline{k}$ désigne la fermeture algébrique de $k$.
Je suis venu jusqu'ici: depuis $\mathfrak{g}$est simple, la représentation adjointe doit être irréductible. Donc,$\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ est un $k$champ oblique. Mais pourquoi tous les éléments de$\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$commuer? Si$A, B \in \mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$, on peut dire que $AB - BA$ est soit $0$ou inversible. Cependant, je n'ai pas pu écarter ce dernier cas.
Aussi: comment sont $\mathfrak{g} \otimes_k \overline{k}$ et $\mathfrak{g}$liés à la (semi) -simplicité? Je sais que$\mathfrak{g}$ est semi-simple iff $\mathfrak{g} \otimes_k \overline{k}$est semi-simple. Y a-t-il un résultat correspondant pour le cas simple?
Réponses
$\DeclareMathOperator{\g}{\mathfrak g}$ $\DeclareMathOperator{\ad}{\mathrm{ad}}$ $\DeclareMathOperator{\End}{\mathrm{End}}$
J'ai essayé de donner une brève introduction à cette théorie dans la section 4.1 de ma thèse qui suit généralement Jacobson, N.: Une note sur les algèbres non associatives . Duke Math. J. 3 (1937), no. 3, 544-548. doi: 10.1215 / S0012-7094-37-00343-0 . Voici la partie pertinente à votre question:
Re première question :
Pour un $k$-Lie algèbre $\g$ définir
$$K := K(\g) := \{ s \in \End_k(\g): s \circ \ad_{\g}(x) = \ad_{\g}(x) \circ s \text{ for all } x \in \g \}.$$
Nous le considérons comme associatif $k$-algèbre et remarquez qu'en tant que telle, elle s'identifie à ce que vous appelez $\End(\g, \ad)$.
Si $\g$ c'est simple, alors (comme tu le remarques) $K$ est un champ biaisé par le lemme de Schur.
En fait, c'est un champ; à savoir, depuis$\g = [\g, \g]$ il suffit de voir que deux éléments $s, t \in K$ faire la navette sur un commutateur $[x,y]$ pour $x,y \in \g$. Mais$$ s(t([x,y])) = s([x, ty]) = [sx, ty] = t([sx, y]) = t(s([x,y])) $$ où nous avons utilisé, de gauche à droite, que $t$ fait la navette avec $\ad_{\g}(x)$, $s$ avec $-\ad_{\g}(ty)$, $t$ avec $\ad_{\g}(sx)$ et $s$ avec $-\ad_{\g}(y)$.
On appelle $K$le centroïde de$\g$ et remarque que $\g$ a une structure naturelle comme l'algèbre de Lie sur $K$. Vu comme tel, écrivez$^K \g$.
Concernant la deuxième question :
Tout d'abord, une notation. Pour une algèbre de Lie$\g$ plus de $k$, laisser $A(\g)$ être le (associatif, unital) $k$-subalgèbre de $\End_k(\g)$ généré par tous $\ad_{\g}(x)$, $x \in \g$. Remarquez tout de suite que pour toute extension de champ$L|k$, $a \otimes \ad_{\g}(x) \mapsto \ad_{\g_L} (a \otimes x)$ définit un isomorphisme naturel de l'association $L$-algèbres:
$$(*) \qquad L \otimes_k A(\g) \cong A(\g_L)$$
Notez également que $\g$ est un (à gauche) $A(\g)$-module, et qu'un idéal de $\g$ est la même chose qu'un $A(\g)$-sous-module.
De plus, l'inclusion $A(\g) \subseteq \End_k(\g)$ facteurs grâce aux cartes naturelles $A(\g) \hookrightarrow \End_K(^K\g) \hookrightarrow \End_k(\g)$, et la première flèche est bijective par le théorème de densité de Jacobson. (Le théorème est absent de l'article de Jacobson que j'ai cité ci-dessus, car il ne l'a prouvé que huit ans plus tard!) Par conséquent, les éléments suivants sont équivalents:
- $\g$ est simple et $K = k$
- $A(\g) = \End_k(\g)$.
Dans ce cas, nous appelons $\g$ central simple . Donc par exemple$^K\g$ est central simple si $\g$est simple. Il découle de$(*)$ que toute extension scalaire d'une algèbre de Lie centrale simple est à nouveau centrale simple, a fortiori absolument simple (A Lie algebra $\g$ plus de $k$s'appelle absolument simple si$\g_{\bar k} := \g \otimes_k \bar k$ c'est simple $\bar k$, ou équivalent, $\g_K$ c'est simple $K$ pour chaque extension $K|k$.). Mais nous avons bien plus:
Proposition (4.1.2 dans ma thèse): Soit$\g$ être une simple algèbre de Lie et $L|k$ une extension Galois contenant le centroïde $K$. ensuite$\g_L \simeq \g_1 \times ... \times \g_r$ où $r = [K:k]$ et le $\g_i$ sont des algèbres de Lie absolument simples sur $L$. En particulier,$\g$ est central simple si et seulement si c'est absolument simple.
Preuve : écriture$K = k[X]/(f)$ où $f$ est un polynôme minimal d'un élément primitif de $K|k$, nous avons $L \otimes_k K \cong \prod_{i=1}^r L_i$ (comme $L$-algèbres) où le $L_i$ sont tous $L$ mais avec un $L$-action tordue via certains éléments $\sigma_i : L \simeq L_i$ du groupe Galois $Gal(L|k)$, permutant les zéros de $f \in L[X]$. En particulier,$r = [K:k]$. Puis avec$(*)$, \begin{align*} A(\g_{L}) &\cong L \otimes_k \End_K(^K\g) \cong \End_{L\otimes_k K}((L \otimes_k K) \otimes_K (^K\g) ) \\ &\cong \End_{\prod_{i=1}^r L_i} (\bigoplus_{i=1}^r (^K\g)_{L_i}) \cong \prod_{i=1}^r \End_{L_i}((^K\g)_{L_i}). \end{align*} Appel $e_i$ la $i$-ème idempotent dans le dernier produit, le $A(\g_L)$-module $e_i \cdot \g_L$ est un simple idéal $\g_i$ dans $\g_L$, qui est en fait le simple $L$-Lie algèbre déduite de $(^K\g)_L$ par extension scalaire (c'est-à-dire en tordant le $L$-action) avec $\sigma_i$.