Mouvement plan général et corps rigide flottant librement
Les informations fournies ci-dessus sont-elles suffisantes pour trouver la nouvelle pose $\mathbf{T'}$? Sinon, quelles informations manquent et comment procéder pour trouver la nouvelle valeur de$\mathbf{T'}$?.
Tous les commentaires et suggestions sont les bienvenus :)
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En termes simples, ce que je souhaite trouver est une solution (si possible) qui dit quelque chose comme: décaler l'assiette de telle ou telle quantité en $x$, $y$ et $z$ direction, puis tournez de telle ou telle quantité sur $x,y$ et $z$axe respectivement de sorte que la plaque atterrit à$\mathbf{T'}$.
Veuillez noter que les forces restent constantes pendant le court intervalle de temps $\Delta t$.
Réponses
vous devez résoudre ces équations
\begin{align*} &m\,\boldsymbol{\ddot{R}}=\boldsymbol{S}(\boldsymbol\varphi)\,\sum_i\,\boldsymbol{F}_i\\ &\boldsymbol\Theta\,\boldsymbol{\dot{\omega}}+\boldsymbol\omega\times\,\left(\boldsymbol\Theta\,\boldsymbol\omega\right) =\sum_i \left(\boldsymbol{r}_i\times \boldsymbol{F}_i\right)\\ &\boldsymbol{\dot\varphi}=\boldsymbol{A}\,\boldsymbol\omega \end{align*} aux conditions initiales \begin{align*} &\boldsymbol{R}(0)= \boldsymbol{R}_0\\ &\boldsymbol{\dot{R}}(0)= \boldsymbol{0}\\ &\boldsymbol{\varphi}(0)=\boldsymbol{\varphi}_0\\ &\boldsymbol\omega(0)=\boldsymbol{0} \end{align*}
où
- $\boldsymbol{S}$ Matrice de rotation entre le système corporel et le système inertiel
- $\boldsymbol{R}$ Centre de vecteur de position de masse
- $\boldsymbol{\omega}$ Vitesse angulaire
- $\boldsymbol{\varphi}=\left[\alpha~,\beta~,\gamma\right]^T$ les angles d'Euler
- $\boldsymbol\Theta$ Intertia tenseur \begin{align*} \boldsymbol\Theta= \left[ \begin {array}{ccc} \frac{m}{12}\, \left( {w}^{2}+{t}^{2} \right) &0&0 \\ 0&\frac{m}{12} \left( {l}^{2}+{t}^{2} \right) &0 \\ 0&0&\frac{m}{12} \left( {l}^{2}+{w}^{2} \right) \end {array} \right] \end{align*}
à partir de la solution des équations différentielles, vous obtenez la position du centre de masse $~\boldsymbol{R}(t)~$ et la matrice de rotation du corps $~\boldsymbol{S}(t)$
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comment obtenir la matrice $~\boldsymbol{A}$
vous commencez par la matrice de rotation par exemple:
\begin{align*} &\boldsymbol S=\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&\cos \left( \alpha \right) &-\sin \left( \alpha \right) \\ 0& \sin \left( \alpha \right) &\cos \left( \alpha \right) \end {array} \right]\, \left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \beta \right) &0&\sin \left( \beta \right) \\ 0&1&0\\ -\sin \left( \beta \right) &0&\cos \left( \beta \right) \end {array} \right]\, \left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \gamma \right) &-\sin \left( \gamma \right) &0\\ \sin \left( \gamma \right) &\cos \left( \gamma \right) &0\\ 0&0&1\end {array} \right]\\\\ &\text{with}\\ &\left[ \begin {array}{ccc} 0&-\omega_{{z}}&\omega_{{y}} \\ \omega_{{z}}&0&-\omega_{{x}}\\ -\omega_{{y}}&\omega_{{x}}&0\end {array} \right] =\boldsymbol{S}^T\,\frac{d}{dt}\,\boldsymbol{S}\\ &\Rightarrow\\ &\begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \\ \end{bmatrix}=\underbrace{\left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \beta \right) \cos \left( { \gamma} \right) &\sin \left( {\gamma} \right) &0\\ - \cos \left( \beta \right) \sin \left( {\gamma} \right) &\cos \left( { \gamma} \right) &0\\ \sin \left( \beta \right) &0&1 \end {array} \right] }_{\boldsymbol{J}_R}\,\begin{bmatrix} \dot{\alpha} \\ \dot{\beta} \\ \dot{\gamma}\\ \end{bmatrix}\\ &\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{J}_R\right]^{-1}= \left[ \begin {array}{ccc} {\frac {\cos \left( \gamma \right) }{\cos \left( \beta \right) }}&-{\frac {\sin \left( \gamma \right) }{\cos \left( \beta \right) }}&0\\ \sin \left( \gamma \right) &\cos \left( \gamma \right) &0\\ -{\frac { \sin \left( \beta \right) \cos \left( \gamma \right) }{\cos \left( \beta \right) }}&{\frac {\sin \left( \beta \right) \sin \left( \gamma \right) }{\cos \left( \beta \right) }}&1\end {array} \right] \end{align*}
Les conditions initiales $~\boldsymbol{\varphi}_0=\left[\alpha_0~,\beta_0~,\gamma_0\right]$
avec:
\begin{align*} & \boldsymbol{S}_{t=0}=\left[ \begin {array}{ccc} m_{{1,1}}&m_{{1,2}}&m_{{1,3}} \\ m_{{2,1}}&m_{{2,2}}&m_{{2,3}} \\ m_{{3,1}}&m_{{3,2}}&m_{{3,3}}\end {array} \right]\\\\ &\text{with}~\boldsymbol S= \boldsymbol{S}_{t=0}\\ &\Rightarrow\\ &\tan \left( \alpha_{{0}} \right) =-{\frac {m_{{2,3}}}{m_{{3,3}}}}\\ &\tan \left( \gamma_{{0}} \right) =-{\frac {m_{{1,2}}}{m_{{1,1}}}}\\ &\sin \left( \beta_{{0}} \right) =m_{{1,3}} \end{align*}
Le mouvement de translation du centre de masse (CM) est donné en résolvant la deuxième loi: $Md \vec V/dt = \vec F_{ext}$ où $M$ est la masse totale, $\vec V$ est la vitesse du CM, et $\vec F_{ext}$est la force externe nette. Ceci s'applique à tout système de particules, dans un corps rigide ou non.
La discussion suivante du mouvement de rotation suppose un corps rigide. Le mouvement de rotation autour du centre de masse mobile est compliqué à évaluer; par exemple, l'inertie est un tenseur de la rotation 3D générale. Une approche typique consiste à trouver d'abord les principaux axes du corps; axes pour lesquels les produits d'inertie dans le tenseur d'inertie sont nuls. Les axes principaux forment les axes du corps, fixés dans le corps avec origine au CM. Les axes du corps tournent avec le corps. Pour évaluer le mouvement par rapport à un ensemble fixe d'axes spatiaux d'origine au CM (les axes spatiaux sont fixes et ne tournent pas), les angles eulériens peuvent être utilisés. Ensuite, le mouvement de rotation peut être modélisé avec un lagrangien en utilisant les angles eulériens. Cette approche est discutée dans de nombreux tests de mécanique physique intermédiaires / avancés, tels que: Symon, Mechanics and Goldstein, Classical Mechanics. Je vous suggère de consulter un tel manuel pour les détails, et pour des exemples, tels que la façon d'identifier les axes principaux, le mouvement d'un sommet symétrique et le mouvement sans couple. En général, des approches numériques sont nécessaires, en particulier pour les corps non symétriques.
En plus des informations que vous fournissez, la densité de la plaque est également nécessaire pour configurer les équations à évaluer $T'$en utilisant l'approche résumée ci-dessus. Les axes principaux de votre plaque - en supposant une densité constante - sont faciles à identifier grâce à la symétrie
Le couple calculé à partir d'un point d'un référentiel inertiel (par exemple l'origine $O_G$) est la dérivée temporelle du moment cinétique total: $$\tau = \frac{d\mathbf L}{dt}$$
Et le moment cinétique de la plaque à un instant donné est:
$$\mathbf L = \int_v \mathbf r_G \times d\mathbf p = \int_v \mathbf r_G \times \frac{d\mathbf r_G}{dt} \rho dv$$
Où $\mathbf r_G$ est le vecteur de position des points de la plaque à partir de l'origine $O_G$. Mais en même temps, en connaissant les efforts et leurs emplacements dans la plaque, le couple est connu:
$$\tau = \sum_{i=1}^n\mathbf r_{Gi} \times \mathbf F_i$$
En assimilant ce couple à la dérivée temporelle de l'intergral du moment cinétique, nous avons une équation vectorielle diférentielle en $\mathbf r_G$ et $\frac{d\mathbf r_G}{dt}$, cela devrait être résolu avec les conditions aux limites qui $\frac{d\mathbf r_G}{dt} = 0$ quand $t = 0$.
Cette procédure est valable même si le corps n'est pas rigide. Mais cette contrainte supplémentaire signifie que pour tout point du corps, les distances à tout autre point ne changent pas avec le temps. Choix de l'axe parallèle au cadre de coordonnées global$O_G$, mais avec origine à un point arbitraire du corps, après un petit temps $\Delta t$ la position de tous les autres points se déplace selon la matrice de rotation infinitésimale $R$.
$$\Delta \mathbf r_b = R\mathbf r_b - \mathbf r_b = (R - I)\mathbf r_b \implies \frac{d \mathbf r_b}{dt} = \Omega \mathbf r_b$$
Où $\mathbf r_b$ sont les vecteurs de position par rapport à l'origine sélectionnée dans le corps, et $\Omega$ est la matrice:
\ begin {Bmatrix} 0 & - \ omega_3 & \ omega_2 \\ \ omega_3 & 0 & - \ omega_1 \\ - \ omega_2 & \ omega_1 & 0 \ end {Bmatrix}
La $\omega$s sont les vitesses angulaires instantanées par rapport à l'axe des coordonnées. Le produit croisé dans l'intégrale du moment cinétique devient:
$$\mathbf r_b \times \frac{d\mathbf r_b}{dt} = \mathbf r_b \times \Omega \mathbf r_b$$
En augmentant le produit croisé, le moment cinétique à un instant donné, par rapport au point du corps, peut être exprimé comme suit: $\mathbf L = (\int_v \rho M dv) \omega$
où $M$ est la matrice carrée:
\ begin {Bmatrix} (y ^ 2 + z ^ 2) & -xy & -xz \\ –yx & (z ^ 2 + x ^ 2) & -yz \\ -zx & –zy & (x ^ 2 + y ^ 2) \ end {Bmatrix}
et $\omega$ est la matrice de colonnes:
\ begin {Bmatrix} \ omega_1 \\ \ omega_2 \\ \ omega_3 \ end {Bmatrix}
En particulier, si le point sélectionné dans le corps est le COM, on peut utiliser la deuxième loi de Newton pour son mouvement:
$$\sum_{i=1}^n\mathbf F_i = m \frac{d\mathbf v_{COM}}{dt}$$
Et assimiler le couple relatif au COM à la dérivée temporelle du moment cinétique également par rapport au COM:
$$\tau = \sum_{i=1}^n\mathbf r_{COMi} \times \mathbf F_i = \frac{d(\int_v \rho M dv) \omega}{dt}$$
Bien sûr l'intégrale simplifie beaucoup si la densité est constante, et si par coïncidence les forces arrivent à faire tourner le corps autour d'un des 3 axes principaux d'inertie.
Dans une brève réponse «Oui», cela suffit. Tout corps rigide a 6 degrés de liberté, 3 en translation 3 en rotation. Sur certains cas; 3 La description de variable indépendante pour la rotation entraîne des problèmes de singularité où la rotation ne peut être définie. Par conséquent, avec l'introduction de nouvelles variables, la rotation est décrite avec 4 variables où elles dépendent les unes des autres avec une équation appelée équation de contrainte. Par conséquent, même avec un descripton de 4 paramètres de rotation, le corps rigide n'a que 6 degrés de liberté au total. Dans ton cas;
Vous définissez la valeur des six variables de position, la valeur des six variables de vitesse et la valeur des six variables d'accélération dues aux forces. Où tout est complètement défini.
Donc votre problème est un problème «bien défini».