Probabilité qu'un patient soit atteint d'une maladie $X$

Aug 18 2020

Maladie $X$ n'est présent que dans $0.1$% de patients testés. Le test est positif$99$% du temps où le patient a une maladie $X$. Si vous êtes testé pour la maladie et que le test est positif, alors la probabilité que vous ayez la maladie$X$ est $10$%. Quelle est la probabilité qu'une personne soit testée positive lorsqu'elle n'a pas de maladie$X$?

Ce que j'ai essayé:

Laisser $A$ être la probabilité que le patient ait une maladie $X$, et $B$ être la probabilité qu’ils soient positifs.

ensuite $P(A)=0.001$, ce qui implique $P(\bar{A})=0.099$ et $\displaystyle P(B/A)=0.99$. Maintenant nous devons trouver$\displaystyle P(B/\bar{A})$.

Nous avons également ici: $$P(B)=P(A)P(B/A)+P(\bar{A})P(B/\bar{A}).$$

Il semble que nous pouvons appliquer le théorème de Bayes. Mais je ne comprends pas comment appliquer la formule ici.

Réponses

1 Jared Aug 18 2020 at 09:50

En utilisant le théorème de Baye, la probabilité d'être testé positif est:

\ begin {align *} P (\ text {maladie} | \ text {+ test}) = & \ \ frac {P (\ text {+ test} | \ text {maladie}) P (\ text {maladie}) } {P (\ text {+ test})} \\ P (\ text {+ test}) = & \ P (\ text {+ test} | \ text {maladie}) P (\ text {maladie}) + P (\ text {+ test} | \ text {$\neg$maladie}) P (\ text {$\neg$maladie}) \\ = & \ .99 * 0.001 + 0.999x \ end {align *}

Nous pouvons trouver $x = P(\text{+test}|\text{$\ neg$disease})$ en résolvant l'équation suivante (je mélange des pourcentages avec des décimales):

\begin{align*} 0.1 = \frac{.99 * 0.1\%}{.99*0.1\% + 99.9\%x}\\ .0099 + 9.99x = .099 \\ x = \frac{0.0891}{9.99} \approx 0.00891891892 \end{align*}

Cela signifie que la probabilité d'un test positif étant donné qu'ils ne sont pas atteints de la maladie est d'environ $0.89\%$.