Probabilité qu'un patient soit atteint d'une maladie $X$
Maladie $X$ n'est présent que dans $0.1$% de patients testés. Le test est positif$99$% du temps où le patient a une maladie $X$. Si vous êtes testé pour la maladie et que le test est positif, alors la probabilité que vous ayez la maladie$X$ est $10$%. Quelle est la probabilité qu'une personne soit testée positive lorsqu'elle n'a pas de maladie$X$?
Ce que j'ai essayé:
Laisser $A$ être la probabilité que le patient ait une maladie $X$, et $B$ être la probabilité qu’ils soient positifs.
ensuite $P(A)=0.001$, ce qui implique $P(\bar{A})=0.099$ et $\displaystyle P(B/A)=0.99$. Maintenant nous devons trouver$\displaystyle P(B/\bar{A})$.
Nous avons également ici: $$P(B)=P(A)P(B/A)+P(\bar{A})P(B/\bar{A}).$$
Il semble que nous pouvons appliquer le théorème de Bayes. Mais je ne comprends pas comment appliquer la formule ici.
Réponses
En utilisant le théorème de Baye, la probabilité d'être testé positif est:
\ begin {align *} P (\ text {maladie} | \ text {+ test}) = & \ \ frac {P (\ text {+ test} | \ text {maladie}) P (\ text {maladie}) } {P (\ text {+ test})} \\ P (\ text {+ test}) = & \ P (\ text {+ test} | \ text {maladie}) P (\ text {maladie}) + P (\ text {+ test} | \ text {$\neg$maladie}) P (\ text {$\neg$maladie}) \\ = & \ .99 * 0.001 + 0.999x \ end {align *}
Nous pouvons trouver $x = P(\text{+test}|\text{$\ neg$disease})$ en résolvant l'équation suivante (je mélange des pourcentages avec des décimales):
\begin{align*} 0.1 = \frac{.99 * 0.1\%}{.99*0.1\% + 99.9\%x}\\ .0099 + 9.99x = .099 \\ x = \frac{0.0891}{9.99} \approx 0.00891891892 \end{align*}
Cela signifie que la probabilité d'un test positif étant donné qu'ils ne sont pas atteints de la maladie est d'environ $0.89\%$.