Prouver$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 1$c'est faux
$$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 1$$
Donné$\epsilon > 0$ $$\left|\frac{1}{x} - 1\right| < \epsilon.$$Réécrivez-le comme$$-\epsilon < \frac{1}{x} - 1 < \epsilon$$ $$-\epsilon + 1< \frac{1}{x} < \epsilon + 1$$Si epsilon est très petit, alors des deux côtés nous obtenons une valeur proche de$1$, mais la fonction se rapproche de zéro, donc les deux côtés sont faux. Si$\epsilon$est grand, alors sur le côté droit, nous obtenons une grande valeur positive, mais avec$ n \in (0,1)$la fonction devient plus grande aussi. Par conséquent, le côté droit échoue. Est-ce une insonorisation ? Et si oui, comment pourrais-je le réécrire avec des symboles mathématiques ?
Réponses
Je l'accepterais, car je sais ce que vous entendez par très petit. Cependant, dans ce cas, il est préférable de préciser ce que vous voulez dire. Si nous utilisons 1/2, et laissons$x>2$, alors$1/x<1/2$. Nous ne pouvons donc pas avoir$1/x\to1$.
Honnêtement, le côté droit n'a pas d'importance dans ce cas. Il suffit de casser l'une des inégalités pour montrer que la convergence ne tient pas. Mais de toute façon c'est toujours vrai pour$x\geq1$ce$1/x<1+\epsilon$, donc l'inégalité de droite tient.
Votre argument selon lequel$\frac 1x$va à$0$doit être prouvé et c'est essentiellement ce qu'on demande de prouver ; prouver$\frac 1x$ ne va pas à$1$.
Et si vous prouvez que$\lim_{x\to \infty} \frac 1x = 0$(ce qu'il fait - voir addenda) ce n'est pas suffisant car bien que la notation limite$\lim_{x\to \infty}f(x) = L$ ressemble à une égalité, cela signifie en fait pour chaque$\epsilon > 0$il y a un$N$pour que$x > N \implies |f(x) - L| < \epsilon$et nous ne savons pas qu'il ne peut pas y en avoir deux alors$L$s. (Bien que nous puissions le prouver très tôt - voir addenda).
Voici un indice :$|\frac 1x - 1| =|1-\frac 1x|= |\frac {x-1}x|$.
donc si$|\frac 1x - 1|<\epsilon$alors$-\epsilon < \frac {x-1}x < \epsilon$. Maintenant comme$x\to \infty$nous pouvons supposer$x > 1$alors$-\epsilon x < 0 < x-1 < x\epsilon$
$x-x\epsilon=x(1-\epsilon) < 1$
Si nous choisissons un$\epsilon$pour que$0<\epsilon < 1$Nous avons$x < \frac 1{1-\epsilon}$.
Eh bien, cela met une limite supérieure sur$x$ce qui contredit ça$x \to \infty$donc c'est impossible.
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Addenda :
Prétendre:$\lim_{x\to \infty} \frac 1x = 0$.
Pf : Pour tout$\epsilon >0$Laisser$N =\frac 1{\epsilon}$(ce qui est positif). Si$x > N$alors$|\frac 1x -0| = \frac 1x < \frac 1N =\epsilon$.
Réclamation : si$\lim_{x\to \infty} f(x) = L$et$M \ne L$alors$\lim_{x\to \infty} f(x)= M$ce n'est pas vrai.
Preuve : Si$L \ne M$alors$|L - M| > 0$. Laisser$\epsilon = \frac {|L-M|}2$
Si$|f(x) - M| < \epsilon$et$|f(x) - L| < \epsilon$alors
$|L - M| = |(L - f(x)) + (f(x) - M)| \le |L-f(x)| + |f(x)-M| < \epsilon + \epsilon = |L-M|$
Alors$|L-M| < |L-M|$ce qui est impossible. Donc il n'y a pas$N$ou$N'$de sorte que si$x >N$et$x > N'$(c'est à dire$x > \max(N,N')$alors$|f(x)-L| < \epsilon$et$|f(x) -M| < \epsilon$comme cela est impossible.
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Donc si vous ne vouliez pas le prouver comme je l'ai fait dans le corps de ce post, vous pouvez plutôt prouver que les limites, quand elles existent, sont uniques. Et cela$\lim_{x\to \infty}\frac 1x =0$et cela$0 \ne 1$donc la revendication$\lim_{x\to \infty}\frac 1x = 1$c'est faux.
Donné$\epsilon > 0$supposer wlog$x>1$et$\epsilon<1$alors
$$\left|\frac{1}{x} - 1\right| < \epsilon \iff1-\frac1x < \epsilon \iff \frac1x>1-\epsilon \iff x<\frac1{1-\epsilon }$$
alors l'inégalité échoue pour tout$x\ge M=\frac1{1-\epsilon }$.
Tout comme une méthode de preuve alternative, considérons l'intégrale impropre$$I=\lim_{x\to\infty}\displaystyle\int_{1}^{x} \frac{1}{t^2}\,dt$$
On sait que depuis$t^2\geq 0$pour tous$t\in\mathbb{R}$, et dans ce cas,$t\geq 1>0$, donc on a ça$1\geq \frac{1}{t^2}>0$, ce qui implique que la fonction dans l'intégrande est strictement positive sur l'intervalle$[1,\infty)$, de sorte que l'intégrale doit également être strictement positive, c'est-à-dire$I>0$. Après calcul, on voit que$$I=\lim_{x\to\infty} -\frac{1}{t}\bigg|_{t=1}^{t=x} = \lim_{x\to\infty}-\frac{1}{x}+1=\lim_{x\to\infty}-(\frac{1}{x}-1)=-(1-1)=0\not>0$$
Ainsi, l'hypothèse selon laquelle$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=1$c'est faux.
Pour montrer que l'énoncé est faux, trouvez un$\epsilon$qui n'a pas de correspondance$x^\star$, de sorte que chaque fois$x \geq x\star$,$| \frac{1}{x} - 1 | < \epsilon$ne tient pas. Supposer$L = 1$et laissez$\epsilon = \frac{1}{2}$. Considérez quand$x^\star \geq 1$, alors\begin{align*} | \frac{1}{x} -1 | \geq \frac{1}{2} \end{align*}
chaque fois que$x \geq 2$. Considérez quand$x^\star <1$, alors\begin{align*} |\frac{1}{x} -1 | \geq \frac{1}{2} \end{align*}chaque fois que$x \geq 2$.
Il n'existe donc pas de$x^\star$pour$\epsilon = \frac{1}{2}$. Par conséquent, il doit certainement être faux que la limite soit$1$.