Prouver que si$a+b$est un nombre irrationnel, alors au moins l'un des$a$ou$b$est irrationnel.

Aug 17 2020

J'ai rencontré cette question dans un livre. J'ai essayé de prouver la condition comme suit : Supposons que a et b soient rationnels. Clairement la somme de$a$et$b$est rationnel, ce qui contredit la condition, qui est que$a+b$est irrationnel. Donc au moins l'un de a ou b est irrationnel.

J'ai l'impression que quelque chose ne va pas là-bas. J'ai l'impression que l'utilisation de la preuve contrapositive ici pourrait être meilleure, mais je ne suis pas sûr parce que je suis nouveau dans le monde des preuves.

Réponses

peek-a-boo Aug 17 2020 at 20:55

La déclaration que vous essayez de prouver est$\forall a,b\, (a+b\notin \Bbb{Q} \implies a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q})$. Il s'agit simplement de la traduction symbolique de l'énoncé « pour chaque$a,b$, si$a+b$est irrationnel alors au moins un des$a$ou$b$est irrationnel".

Ici, la déclaration$X$est "$a+b\notin \Bbb{Q}$", et la déclaration$Y$est "$a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q}$". Ainsi, la contraposée de "pour chaque$a,b$($X \implies Y$)" est "pour chaque$a,b$ $(\neg Y \implies \neg X)$", qui dans ce cas est :

Pour chaque$a,b$Nous avons ($a\in \Bbb{Q}$et$b\in \Bbb{Q} \implies a+b \in \Bbb{Q}$)

et c'est ce que vous avez soutenu.

AnalysisStudent0414 Aug 17 2020 at 20:52

Je veux répondre à votre commentaire "Je ne vois pas comment fonctionne la contrapositive ici".

Laisser$\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$(l'ensemble des nombres irrationnels).

Tu veux montrer que

$$ a+b \in \mathbb{I} \implies a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}$$

Avant de passer à la contraposée, notez que pour$a \in \mathbb{R}$ $$ \lnot (a \in \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in \mathbb{Q}$$

Maintenant, la contraposée devient

$$ \lnot (a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}) \implies \lnot (a+b \in \mathbb{I})$$ce qui, à la lumière de l'observation ci-dessus, est$$ a \in \mathbb{Q} \land b \in \mathbb{Q} \implies a+b \in \mathbb{Q}$$

qui est une propriété déterminante de$\mathbb{Q}$.

Rappelez-vous aussi que$\lnot (P \vee Q) = (\lnot P) \land (\lnot Q)$.