Prouver que si$a+b$est un nombre irrationnel, alors au moins l'un des$a$ou$b$est irrationnel.
J'ai rencontré cette question dans un livre. J'ai essayé de prouver la condition comme suit : Supposons que a et b soient rationnels. Clairement la somme de$a$et$b$est rationnel, ce qui contredit la condition, qui est que$a+b$est irrationnel. Donc au moins l'un de a ou b est irrationnel.
J'ai l'impression que quelque chose ne va pas là-bas. J'ai l'impression que l'utilisation de la preuve contrapositive ici pourrait être meilleure, mais je ne suis pas sûr parce que je suis nouveau dans le monde des preuves.
Réponses
La déclaration que vous essayez de prouver est$\forall a,b\, (a+b\notin \Bbb{Q} \implies a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q})$. Il s'agit simplement de la traduction symbolique de l'énoncé « pour chaque$a,b$, si$a+b$est irrationnel alors au moins un des$a$ou$b$est irrationnel".
Ici, la déclaration$X$est "$a+b\notin \Bbb{Q}$", et la déclaration$Y$est "$a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q}$". Ainsi, la contraposée de "pour chaque$a,b$($X \implies Y$)" est "pour chaque$a,b$ $(\neg Y \implies \neg X)$", qui dans ce cas est :
Pour chaque$a,b$Nous avons ($a\in \Bbb{Q}$et$b\in \Bbb{Q} \implies a+b \in \Bbb{Q}$)
et c'est ce que vous avez soutenu.
Je veux répondre à votre commentaire "Je ne vois pas comment fonctionne la contrapositive ici".
Laisser$\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$(l'ensemble des nombres irrationnels).
Tu veux montrer que
$$ a+b \in \mathbb{I} \implies a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}$$
Avant de passer à la contraposée, notez que pour$a \in \mathbb{R}$ $$ \lnot (a \in \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in \mathbb{Q}$$
Maintenant, la contraposée devient
$$ \lnot (a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}) \implies \lnot (a+b \in \mathbb{I})$$ce qui, à la lumière de l'observation ci-dessus, est$$ a \in \mathbb{Q} \land b \in \mathbb{Q} \implies a+b \in \mathbb{Q}$$
qui est une propriété déterminante de$\mathbb{Q}$.
Rappelez-vous aussi que$\lnot (P \vee Q) = (\lnot P) \land (\lnot Q)$.