Quelle est l'observable lors de la mesure de plusieurs qubits dans la base de calcul?

Aug 19 2020

Dans Nielsen et Chuang, calcul quantique et information quantique, la définition suivante est donnée à une mesure projective:

Les mesures projectives sont décrites par un observable $M$ :

$$M = \sum_m m P_m$$

avec $P_m$ un projecteur sur l'Eigenspace de $M$ avec valeur propre $m$.

Ma question est maintenant, quand nous disons que nous mesurons un système de n qubits dans la base de calcul, à quelle observable faisons-nous référence précisément?

Pour 1 qubit, je sais que cela se réfère à l'observable Z:

$$Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = |0 \rangle \langle 0| - |1\rangle \langle 1|.$$

pour n qubits, mon intuition serait:

\begin{align*} P_1 & = \underbrace{Z \otimes I \otimes ... \otimes I}_{n \textrm{ terms}}. \\ P_2 & = I \otimes Z \otimes ... \otimes I. \\ & ... \\ P_n & = I \otimes I \otimes ... \otimes Z. \end{align*}

avec I la matrice d'identité.

Alors l'observable serait comme dans la définition. Est-ce exact ?

Réponses

3 JSdJ Aug 19 2020 at 20:35

Notez que vos définitions actuelles des matrices de projection $\{P_{1},P_{2},...,P_{n}\}$ ne sont en fait pas des matrices de projection, car $P_{i}^{2} = I \not= P_{i} \,\, \forall i$.

Ce qui fonctionne `` mieux '', c'est si vous avez quelque chose comme:

\ begin {équation} \ begin {split} P_ {1} ^ {+ 1} = & | 0 \ rangle \ langle 0 | \ otimes I \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {1} ^ {- 1} = & | 1 \ rangle \ langle 1 | \ otimes I \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {2} ^ {+ 1} = & I \ otimes | 0 \ rangle \ langle 0 | \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {2} ^ {- 1} = & I \ otimes | 1 \ rangle \ langle 1 | \ otimes I .... \ otimes I \\ & \ vdots \\ P_ {n} ^ {+ 1} = & I \ otimes I .... \ otimes I \ otimes | 0 \ rangle \ langle 0 | \ \ P_ {n} ^ {- 1} = & I \ otimes I .... \ otimes I \ otimes | 1 \ rangle \ langle 1 | \\ \ end {split} \ end {equation}

Cependant, un PVM doit avoir cela $\sum_{i = 0}^{2n-1} P_{i} = I$, ce qui n'est clairement pas le cas ici! On pourrait résoudre ce problème en renormalisant, mais il manque une autre chose ici: ces projecteurs ne tiennent pas compte des corrélations que les mesures pourraient avoir.

Un meilleur `` choix '' est donc les opérateurs de mesure $Z_{n} = Z \otimes Z \otimes Z ... \otimes Z$. Cet opérateur a$2^{n}$ vecteurs propres:

$$Z_{n} = \sum_{i \in \{0,1\}^{n}} m_{i} |i\rangle\langle i|,$$$m_{i} = \pm 1$ basé sur la parité de la chaîne de bits $i$. En tant que résultat de la mesure, vous obtenez alors la chaîne de bits$i$, associé à la projection sur l'état $|i\rangle$.

2 DaftWullie Aug 19 2020 at 20:59

Vous voulez simplement n'importe quel opérateur diagonal qui a des éléments diagonaux distincts (ce qui impliquerait que chaque élément de base correspond à une sortie distincte de la mesure).

Une façon pratique de désigner cela en termes de matrices de Pauli est $$ \sum_{i=1}^N2^{N-i-1}(1-Z_i) $$ Pour un état de base $|x\rangle$$x$ est un nombre binaire, la valeur propre est la représentation décimale de $x$(et donc distinct). Bien sûr, vous pouvez supprimer tous les termes d'identité car ceux-ci ne font que modifier toutes les valeurs propres.

1 glS Aug 19 2020 at 22:28

Notez que si vous envisagez une mesure projective, il n'est pas du tout nécessaire de traiter des observables. Une mesure projective est caractérisée par la base$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1\rangle}\{\ket{u_i}\}_i$ sur laquelle vous mesurez, et donc les probabilités de projection associées $p_i\equiv \lvert\langle u_i\rvert \psi\rangle\rvert^2$ (quand $\ket\psi$est l'état mesuré). Vous n'avez besoin de rien d'autre.

Apporter un observable dans l'image peut être utile, selon les circonstances et ce qui vous intéresse exactement. Mais rappelez-vous que les observables sont utilisés pour calculer les valeurs d'espérance . En d'autres termes, vous définissez une observable en attachant des nombres aux résultats de mesure possibles, puis en calculant la valeur d'espérance de ces nombres par rapport à la distribution de probabilité$p_i$.