Quelle est la relation entre le signe du code de correction d'erreur et le trajet des opérateurs?

Aug 17 2020

Par exemple, le QECC à 5 qubits.

Si $X_i, Y_i, Z_i$ fait la navette avec $M_i$, la valeur propre sera +1. Sinon, la valeur propre sera -1. Quelle est la relation entre le trajet et le signe de la valeur propre? De plus, puisque le qubit de contrôle est le qubit ancilla et le qubit cible est$\psi$, comment se fait-il qu'un changement du qubit cible puisse influencer la mesure du qubit de contrôle? Par exemple, si$X_0$ apparaît, pourquoi le résultat de la mesure du qubit ancilla est-il 0100?

Réponses

3 chrysaor4 Aug 17 2020 at 22:43

Ce que vous décrivez s'appelle la mesure indirecte et constitue la colonne vertébrale du formalisme du stabilisateur. Pour le comprendre, nous pouvons simplement travailler avec un élément général du groupe Pauli, qui dans le diagramme ci-dessous est la porte étiquetée$P$. Également$|\phi\rangle$ le fil est généralement un faisceau de $n$ les fils et la porte $P$ agit sur chacun d'eux (dans votre exemple, il s'agit d'un état à cinq qubits, et chaque Pauli à un qubit est $X$, $Z$, ou $I$), mais pour cet exemple, supposons simplement qu'il s'agit d'un seul qubit.

Tout élément du groupe de Pauli a un espace propre tel que la moitié des vecteurs propres ont une valeur propre +1 et l'autre moitié une valeur propre -1. Dans le cas d'un Pauli à un qubit$P$, on peut appeler ces deux vecteurs propres $|\phi_+\rangle$ et $|\phi_-\rangle$, et écrivez l'état d'entrée dans cette base $|\phi\rangle = \alpha |\phi_+\rangle + \beta |\phi_-\rangle $.

En travaillant sur l'action du circuit, nous obtenons

$$ |0\rangle|\phi\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) |\phi\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle |\phi\rangle + |1\rangle P |\phi\rangle ) \rightarrow \frac{1}{2} (|0\rangle(I + P)|\phi\rangle + |1\rangle(I - P)|\phi\rangle) $$

Cela signifie que le résultat que nous obtenons lors de la mesure de l'ancilla détermine quel opérateur nous appliquons au (x) qubit (s) de données. Travailler juste le premier terme, comme si nous mesurions l'ancilla et le réduisions en$|0\rangle$:

$$ \frac{1}{2}(I+P) |\phi\rangle = \frac{1}{2} (I+P) (\alpha|\phi_+\rangle + \beta|\phi_-\rangle) = \frac{1}{2} (\alpha|\phi_+\rangle + \beta|\phi_-\rangle + \alpha|\phi_+\rangle - \beta|\phi_-\rangle) = \alpha |\phi_+\rangle $$

L'action de l'opérateur est donc de se projeter sur son espace propre positif, conditionné sur le résultat ancilla (et vous pouvez vérifier que l'autre résultat se projette sur l'espace propre négatif). Puisque nous projetons uniquement sur un sous-espace, au lieu de nous réduire à un état individuel, cela s'appelle une mesure indirecte. Pour être clair, dans cet exemple$|\phi_+\rangle$ est juste un rayon dans l'espace Hilbert, mais vous pouvez imaginer d'autres projecteurs comme$ZZ$ qui définissent des sous-espaces pairs / impairs, pas des rayons.

Si nous nous préparons intentionnellement $|\phi\rangle = |\phi_+\rangle$, alors l'ancilla ne peut jamais donner que 0, car aucune partie de l'état des données ne se trouve dans le (sous) espace propre négatif ($\alpha=1, \beta=0$).

Maintenant, que se passe-t-il si une erreur $U$ se produit, quelque part avant la porte $P$? Puisque l'erreur est également supposée être un Pauli, elle a également des espaces propres positifs et négatifs. De plus, notez que deux éléments quelconques du groupe Pauli doivent soit faire la navette, soit faire la navette.

Suppose que $U$ fait la navette avec $P$: $$ UP = PU \rightarrow PU|\phi_+\rangle = U|\phi_+\rangle $$ donc le nouvel état d'erreur $U|\phi_+\rangle$ a toujours la valeur propre +1 sous $P$. Mesurant que l'ancilla ne peut toujours que donner$|0\rangle$ (c'est à dire $m_Z = +1$).

Supposons maintenant que $U$ anti-déplacements avec $P$: $$ UP = -PU \rightarrow PU|\phi_+\rangle = -U|\phi_+\rangle $$ Maintenant, l'état qui était censé être dans l'espace propre positif a la valeur propre -1 sous $P$en raison de l'erreur, les espaces se sont donc retournés! Cela signifie que l'ancilla ne peut jamais donner$|1\rangle$ lors de la mesure (c.-à-d. $m_Z = -1$).

De cette façon, les erreurs ($U$) qui font la navette avec les stabilisateurs ($P$) sont indétectables, car ils ne renversent pas le signe des ancillas correspondants. Mais toute erreur qui ne fonctionne pas avec au moins un stabilisateur retournera au moins un ancilla, et nous pouvons détecter l'erreur. Ensuite, la seule chose qui reste est de s'assurer que différentes erreurs déclenchent des ensembles uniques d'ancillas, appelés syndromes, de sorte que les erreurs soient décodables de manière unique.

(crédit d'image aux notes de cours TU Delft Fundamentals of Quantum Information)