Quelles sont les équations standard pour le changement des coordonnées cartésiennes dans $\mathbb{R}^2$?
Je travaille sur la première section de l' introduction de Boothby aux manifolds différentiables , et l'un des exercices se lit comme suit:
En utilisant des équations standard pour le changement des coordonnées cartésiennes, vérifiez que $\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}$, où $m_1, m_2$ sont la pente de deux droites, est indépendante du choix des coordonnées.
Il est mentionné que cela peut également être fait en prouvant que sa valeur est juste la tangente de l'angle entre les deux lignes, mais je pense que l'exercice n'est pas destiné à être complété de cette manière.
Je ne suis pas familier avec les équations standard pour le changement de coordonnées cartésiennes. Cela ressemble à un changement de coordonnées dans$\mathbb{R}^2$ serait une transformation affine, bien que je ne sois pas sûr de cela.
Ma question est: quelles sont les équations standard pour le changement de coordonnées cartésiennes?
Réponses
Puisque les gradients sont invariants en translation, on peut supposer sans perte de généralité que les deux systèmes de coordonnées cartésiennes ont la même origine, et que chaque ligne passe par cette origine commune. La transformation à partir des coordonnées$x,\,y$ aux coordonnées $X,\,Y$ satisfait$$X=x\cos\theta-y\sin\theta,\,Y=x\sin\theta+y\cos\theta$$pour certains $\theta\in\Bbb R$. Si$y=mx$ et $Y=nX$,$$0=x\sin\theta+mx\cos\theta-nx\cos\theta+nmx\sin\theta\implies n=\frac{m+\tan\theta}{1-m\tan\theta}.$$Finalement,$$\frac{\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}-\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}}{1+\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}}=\frac{\left(m_{2}-m_{1}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}{\left(1+m_{1}m_{2}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}.$$En conclusion, il convient de noter que la demande de Boothby d'utiliser un changement de coordonnées cartésiennes nous donne non seulement plus de travail que nécessaire, mais donne au résultat final l'apparence d'un accident. Ce n'est pas. L'écriture$m_1=\tan\theta_1$ etc., $\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}=\tan(\theta_2-\theta_1)$, donc le résultat découle de l'invariance rotationnelle des angles dans le plan.
Si vous avez deux systèmes de coordonnées cartésiens, $Oxy$ et $\Omega\xi\eta$, alors l'équation les reliant est $$ \begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\xi(O) \\ \eta(O) \end{pmatrix}, $$ où
- la matrice $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ en inversible et
- $\xi(O)$ et $\eta(O)$ sont les coordonnées de $O$ dans le deuxième système de coordonnées.