Réalisation du groupe métacyclique d'ordre 21
Je voudrais comprendre les groupes d'ordre non abéliens$pq$(avec$q | p-1$) meilleur. Pour$q=2$c'est le groupe dièdre avec lequel je suis à l'aise.
Pour chaque$pq$Je sais qu'il y a exactement un de ces groupes. C'est un produit semi-direct. Sa structure Sylow est$n_q = p$et$n_p = 1$. Je ne sais pas grand-chose à leur sujet.
J'ai calculé les commandes de groupe intéressantes suivantes 21, 39, 55, 57, 93. Et je demanderai environ 21.
Quelle est la symétrie du groupe non abélien d'ordre 21 ?
J'ai fait des recherches sur ce sujet et je n'ai pas trouvé de bonne réponse. Je ne pense pas que ce soit la symétrie des rotations d'un polyèdre ou un puzzle tordu. J'ai vu que le plan fano a 7 lignes et 3 points sur chaque ligne mais je ne sais pas s'il peut être utilisé. Ces groupes agissent-ils naturellement sur un code de conception d'un certain type ? Ou existe-t-il une meilleure façon de les comprendre à un niveau plus profond ? Merci!
Réponses
Sur chaque champ$F$il y a un groupe de transformations affines
$$x \mapsto ax + b, a \in F^{\times}, b \in F$$
agissant sur la ligne affine$\mathbb{A}^1(F)$(qui en tant qu'ensemble est juste$F$). Il s'agit de manière équivalente d'un groupe de$2 \times 2$matrices
$$\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \right].$$
Sur un champ fini$F = \mathbb{F}_q$on obtient une famille de nonabéliens (sauf quand$q = 2$) groupes de commande$q(q - 1)$qui sont des produits semi-directs construits à partir de l'action de$\mathbb{F}_q^{\times}$sur$\mathbb{F}_q$par multiplication. De plus on peut considérer des sous-groupes de ce groupe en restreignant$a$à un sous-groupe de$F^{\times}$. Tous les groupes qui vous intéressent peuvent être construits de cette façon.
Le groupe spécifique qui vous intéresse apparaît lorsque$q = 7$et$a$est limité à appartenir au sous-groupe$(\mathbb{F}_7^{\times})^2$d'éléments carrés de$\mathbb{F}_7^{\times}$. C'est un groupe Frobenius et selon cette page il agit également sur l'avion Fano.