Rubans intégrés et isotopie régulière
Je lis l'article de Kauffman de 1990 "An Invariant of Regular Isotopy" sur les nœuds qui sont isotopiques uniquement par les mouvements de Reidemeister Type II et III, qui est connu comme une isotopie régulière. Son article affirme qu'il existe une relation entre l'isotopie régulière et les bandes intégrées ($S^1 \times [0,1]$) dans $S^3$. Il se réfère au manuel de Burde's Knots, mais je ne trouve aucune mention d'isotopie régulière, car il semble que Kauffman a inventé cette phrase dans le journal, après que le texte de Burde ait été écrit.
Je pense qu'une isotopie régulière des nœuds correspond à une bande intégrée. Cependant, je crains qu'il y ait une pathologie que je néglige. Quelqu'un at-il une déclaration précise de la relation?
Réponses
A partir de n'importe quel diagramme de nœud, on peut obtenir un nœud encadré en prenant le "cadrage tableau noir". L'intérêt de l'isotopie régulière des diagrammes de nœuds est qu'elle préserve ce cadrage du tableau noir. Puisque les nœuds encadrés et les bandes intégrées sont la même chose, l'isotopie régulière conservera également la bande intégrée correspondant au cadrage du tableau noir du diagramme de nœuds.
Je suppose que cela est discuté plus en détail dans Burde, peut-être en termes de nœuds encadrés. Il est également possible que Burde ne parle pas du tout des nœuds encadrés, car je pense que les gens se sont beaucoup plus intéressés à eux après la découverte du polynôme de Jones / le TQFT de Chern-Simons. Et je suis d'accord: je pense que Kauffman a inventé le terme «isotopie régulière», donc il n'est probablement pas utilisé dans Burde.
C'est plus un commentaire qu'une réponse, mais j'espère que c'est utile. Il existe une notion beaucoup plus ancienne et mieux étudiée d' homotopie régulière . Laisser$X$ et $Y$ être des variétés lisses et laisser $f,g\colon X \rightarrow Y$être des immersions. ensuite$f$ et $g$ sont régulièrement homotopes s'ils sont homotopes par immersions.
Concentrons-nous sur les classes d'homotopie régulières d'immersions $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Une telle immersion est ce que vous obtenez d'un diagramme de nœuds en oubliant les croisements sur / sous. Il n'est pas difficile de voir que si$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ sont régulièrement des immersions homotopiques avec auto-intersections transversales, puis $f$ peut être transformé en $g$par une séquence des analogues évidents des mouvements de Reidemeister II / III. Cependant, vous ne pouvez pas effectuer un analogue d'un Reidemeister que je déplace car au moment où vous serrez votre boucle, le dérivé doit disparaître, ce n'est donc pas une homotopie régulière.
Je suppose que c'est ce à quoi Kauffman pensait. À propos, des classes d'homotopie régulières d'immersions$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$peut être complètement classifié. En prenant le dérivé d'une telle immersion et en le remettant à l'échelle pour que le dérivé ait une longueur unitaire, vous obtenez une carte associée$S^1 \rightarrow S^1$. Le degré de cette carte est appelé le degré de l'immersion, et le théorème de Whitney-Graustein dit que ce degré est un invariant complet. Ce théorème est un précurseur du théorème d'immersion de Hirsch-Smale, qui pour le cas particulier des immersions$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ inclut les fameuses «éversions de sphère» de Smale qui transforment la sphère à l'envers.

