Rubans intégrés et isotopie régulière

Aug 18 2020

Je lis l'article de Kauffman de 1990 "An Invariant of Regular Isotopy" sur les nœuds qui sont isotopiques uniquement par les mouvements de Reidemeister Type II et III, qui est connu comme une isotopie régulière. Son article affirme qu'il existe une relation entre l'isotopie régulière et les bandes intégrées ($S^1 \times [0,1]$) dans $S^3$. Il se réfère au manuel de Burde's Knots, mais je ne trouve aucune mention d'isotopie régulière, car il semble que Kauffman a inventé cette phrase dans le journal, après que le texte de Burde ait été écrit.

Je pense qu'une isotopie régulière des nœuds correspond à une bande intégrée. Cependant, je crains qu'il y ait une pathologie que je néglige. Quelqu'un at-il une déclaration précise de la relation?

Réponses

2 CalvinMcPhail-Snyder Aug 19 2020 at 19:51

A partir de n'importe quel diagramme de nœud, on peut obtenir un nœud encadré en prenant le "cadrage tableau noir". L'intérêt de l'isotopie régulière des diagrammes de nœuds est qu'elle préserve ce cadrage du tableau noir. Puisque les nœuds encadrés et les bandes intégrées sont la même chose, l'isotopie régulière conservera également la bande intégrée correspondant au cadrage du tableau noir du diagramme de nœuds.

Je suppose que cela est discuté plus en détail dans Burde, peut-être en termes de nœuds encadrés. Il est également possible que Burde ne parle pas du tout des nœuds encadrés, car je pense que les gens se sont beaucoup plus intéressés à eux après la découverte du polynôme de Jones / le TQFT de Chern-Simons. Et je suis d'accord: je pense que Kauffman a inventé le terme «isotopie régulière», donc il n'est probablement pas utilisé dans Burde.

5 AndyPutman Aug 20 2020 at 00:36

C'est plus un commentaire qu'une réponse, mais j'espère que c'est utile. Il existe une notion beaucoup plus ancienne et mieux étudiée d' homotopie régulière . Laisser$X$ et $Y$ être des variétés lisses et laisser $f,g\colon X \rightarrow Y$être des immersions. ensuite$f$ et $g$ sont régulièrement homotopes s'ils sont homotopes par immersions.

Concentrons-nous sur les classes d'homotopie régulières d'immersions $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Une telle immersion est ce que vous obtenez d'un diagramme de nœuds en oubliant les croisements sur / sous. Il n'est pas difficile de voir que si$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ sont régulièrement des immersions homotopiques avec auto-intersections transversales, puis $f$ peut être transformé en $g$par une séquence des analogues évidents des mouvements de Reidemeister II / III. Cependant, vous ne pouvez pas effectuer un analogue d'un Reidemeister que je déplace car au moment où vous serrez votre boucle, le dérivé doit disparaître, ce n'est donc pas une homotopie régulière.

Je suppose que c'est ce à quoi Kauffman pensait. À propos, des classes d'homotopie régulières d'immersions$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$peut être complètement classifié. En prenant le dérivé d'une telle immersion et en le remettant à l'échelle pour que le dérivé ait une longueur unitaire, vous obtenez une carte associée$S^1 \rightarrow S^1$. Le degré de cette carte est appelé le degré de l'immersion, et le théorème de Whitney-Graustein dit que ce degré est un invariant complet. Ce théorème est un précurseur du théorème d'immersion de Hirsch-Smale, qui pour le cas particulier des immersions$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ inclut les fameuses «éversions de sphère» de Smale qui transforment la sphère à l'envers.

4 ScottCarter Aug 20 2020 at 00:36

Un diagramme est dessiné dans le plan. Restreindre aux nœuds (pas aux liens). Orienter la courbe, & associer à chaque croisement un (+/-) via une règle de la main droite: paume le long du croisement avec le petit doigt pointant vers l'orientation boucle vers + sous-croisement. Pouce en l'air = signe +. Somme sur tous les passages. Ceci est le writhe. Writhe détermine l'auto-liaison du nœud avec un push-off. Dessinez \ infty +, \ infty- et 0. Le \ infty + a l'arc avec la pente + comme sur-arc. Tracez une courbe de poussée dans le plan et calculez le nombre de liens <- calcul délicat, mieux fait en utilisant les mouvements RI pour former le lien Hopf. Le nœud et une poussée délimitent un anneau. Si le numéro d'auto-liaison du nœud est égal à 0, alors l'anneau s'étend jusqu'à une surface Seifert. Le push-off définit une longitude préférée. Mais en général, la courbe encadrée du tableau noir est auto-liée = tordue. Avec une courbe \ alpha - \ gamma, vous pouvez dessiner ceci de 4 manières. 2 ont 0 writhe, 1 a +2, l'autre -2. Ceux avec 0 torsion sont régulièrement homotopes à dénoués. Les 2 autres nécessitent des mouvements de type I. Quelque part dans Kauffman, vous verrez un truc de Whitney. La courbe alpha-gamma a 1 pli vers l'extérieur et 1 pli vers l'intérieur. Il existe des courbes alpha-alpha et gamma-gamma: deux out ou deux in resp. Dans les deux cas, la torsion peut être arrangée comme un cordon téléphonique, ou peut être annulée. Les cas d'annulation sont délicats. Là, les diags sont sur S ^ 2.Eg le bigon borné dans le cas gamma gamma est à l'extérieur. C'est pourquoi vous devez effectuer l'isotopie encadrée dans S ^ 3 plutôt que R ^ 3. [! [Courbes 0 et - / + infini