Si $f$ est continue alors $f$ est uniformément continue ssi $|f|$ est uniformément continue

Dec 30 2020

Si $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ est continue alors $f$ est uniformément continue ssi $|f|$ est uniformément continue.

Une carte $f$ à partir d'un espace métrique $M=(M,d)$ vers un espace métrique $N=(N,\rho)$ est dit uniformément continu si pour chaque $\epsilon>0$, il existe un $\delta>0$ tel que $\rho(f(x),f(y))<\epsilon$ n'importe quand $x,y \in M$ satisfaire $d(x,y)<\delta$.

Clairement, si $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ est uniformément continue alors $|f|$ est uniformément continue car $|f|(x)-|f|(y)|\leq |f(x)-f(y)|$mais j'ai vraiment du mal à montrer la partie inverse. Dans la région où$f$ est toujours positif ou négatif, nous n'aurons aucun problème mais comment traiter les points où $f$change de signe. Si les zéros de$f$ sont finis alors aussi nous pouvons prendre un minimum de tous $\delta$s et concluez le résultat. Que se passera-t-il si les zéros de$f$ sont infinis?

Réponses

2 Furrer Dec 30 2020 at 07:30

Comme mentionné dans les commentaires, la preuve donnée ici peut facilement être modifiée pour fonctionner pour l'ensemble de$\mathbb{R}^n$.

Puisque $\lvert f \rvert$ est uniformément continue, il existe un $\delta > 0$ tel que \begin{align*} d(x,y) \leq \delta \Rightarrow \lvert \lvert f \rvert (x) - \lvert f \rvert (y) \rvert \leq \frac{\epsilon}{2}. \end{align*} Notez que si $f(x)f(y) > 0$, puis \begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert (y) \rvert, \end{align*} qui est inférieur à $\epsilon/2$ n'importe quand $d(x,y) \leq \delta$. Sans surprise, ce cas était assez trivial. Nous tournons maintenant notre attention vers le cas où$f(x)f(y) \overset{\star}{\leq} 0$. Puisqu'il tient toujours ça\begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert f \rvert(x) + \lvert f \rvert (y). \end{align*} il suffit de montrer que $\star$ implique l'existence d'un $z$ tel que $d(x,z) \vee d(y,z) \leq d(x,y)$ et $f(z) = 0$. Parce qu'alors\begin{align*} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert(z) \rvert + \lvert \lvert f \rvert(y) - \lvert f \rvert(z) \rvert \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*} n'importe quand $d(x,y) \leq \delta$. Puisque$f$ est continue, l'existence d'un $z$ découle de la continuité de $f$ et $\star$(en conséquence du théorème des valeurs intermédiaires, voir par exemple ici ).