Si$\widehat{M}$est gratuit$\widehat{R}$-module de rang$n$alors$M$dispose d'un groupe électrogène de$n$éléments en tant que$R$-module.

Question

En référence à ma dernière question Si$\widehat{M}$est gratuit$\widehat{R}$-module, puis$M$est gratuit$R$-module,$R$est une bague Zariski. Je veux poser la question suivante.

Laisser$R$être une bague Zariski avec$I$-topologie adique,$I \subset J(R)$. Laisser$M$être de type fini$R$-module tel que le$I$-achèvement adic$\widehat{M}$est gratuit$\widehat{R}$-module de rang$n$. Alors comment puis-je montrer que$M$dispose d'un groupe électrogène de$n$éléments en tant que$R$-module.

J'ai besoin d'aide.

Answer 1

Envisager$n$générateurs de$\widehat M$,$x_1,...,x_n$.

Laisser$y_1,...,y_n$désigner leur image dans$M/IM$. Alors,$y_1,...,y_n$produire$M/IM$.

En effet,$\widehat M\to M/IM$est surjectif ($M\to \widehat M\to M/IM$est surjectif), donc si$z\in M/IM$, laisser$w$être un antécédent,$w= \sum_i \lambda_i x_i$implique que$z =\sum_i \mu_i y_i$, avec$\mu_i$l'image de$\lambda_i$en dessous de$\widehat R\to R/I$.

Mais maintenant depuis$I\subset J(R)$, le lemme de Nakayama vous dit que tout antécédent de$y_1,...,y_n$produire$M$(ici, utilisez l'hypothèse que$M$est de type fini)