Sur le lien entre homologie et homotopie

Aug 18 2020

Au cours du dernier semestre, j'ai appris l'algèbre homologique et la théorie des catégories supérieures / théorie de l'homotopie.

Mais je suis un peu confus quand j'essaye de vraiment comprendre le lien entre les deux sujets (ce n'est vraiment pas ma zone de confort ...)

J'essaye donc d'écrire (une sorte d'auto-exercice) un texte sur l'algèbre homologique et la théorie de l'homotopie mais $0$ les deux sujets.

Je voudrais présenter les concepts suivants en algèbre homologique:

  1. complexe de chaînes

1$\frac{1}{2}$. Groupe Grothendieck

  1. homotopie d'un complexe

  2. catégorie dérivée

  3. structures en T

Et aussi je voudrais introduire les concepts suivants dans la théorie de l'homotopie:

  1. Catégories de modèles

  2. Catégorie d'homotopie d'une catégorie de modèle

  3. Dérivation dans la définition des catégories de modèles

  4. Quasi-catégories

4.5. objet simplicial dans une catégorie et homotopie dans ce contexte

  1. Équivalence Dold-Kan

Maintenant, la partie "difficile" commence:

Comment organiser correctement ces concepts? Pour 1-3 (soit en homologie / homotopie) je pense que je sais faire ça mais pour 3-5 surtout en homotopie je n'ai aucune idée ...

Cela soulève mes questions:

  1. Comment motiver les catégories à l'infini, ou plus généralement la théorie de l'homotopie / théorie des catégories supérieures mais d'un point de vue homologique. J'ai lu quelque part une peut-être bonne idée:

Pour une catégorie abélienne $\mathcal{A}$, la catégorie dérivée $\mathcal{D(A)}$ n'est pas défini par une propriété universelle.

J'ai lu quelque part que, dans un certain sens, la théorie des catégories supérieures résout le problème. OK mais pourquoi? Et, avons-nous besoin de quasi-catégories, ou est-ce que des catégories modèles seraient suffisantes pour cela?

  1. Si quelqu'un a une idée pour organiser ce texte, je suis ouvert à toute suggestion.

Je serai reconnaissant si quelqu'un pouvait me donner quelques indices pour faire cet exercice personnel.

Réponses

1 DavidWhite Aug 22 2020 at 21:47

J'encourage l'OP à lire les écrits des autres sur ce sujet, avant d'essayer d'écrire quelque chose à partir de zéro. J'ai assisté à des conférences à OSU où Aaron Mazel-Gee a motivé$\infty$-catégories tout comme le PO le suggère à la question 1. Il semble que certaines des idées de ces conférences soient maintenant apparues ici .

Quant à la question 2, le livre de Weibel, Introduction à l'algèbre homologique fait un excellent travail avec la première collection de sujets, puis le livre de Hovey (ou Dwyer-Spalinski ) donne les trois premiers éléments de la deuxième collection, et les livres de Lurie vous donnent tout ce que vous pourriez souhaiter. sur les quasi-catégories et leur connexion aux catégories modèles et à l'algèbre homologique (sérieusement, les introductions qu'il écrit pour chaque chapitre sont phénoménales). Quant à la correspondance Dold-Kan, même si je suis sûr qu'elle apparaît quelque part dans les écrits de Lurie, l' exposition la plus claire que j'ai lue est celle d'Akhil Mathew.

Je suis d'accord avec Arthur que, si vous étiez plus catégorique, vous pourriez inverser l'ordre (par exemple, en commençant par Lurie, si vous connaissiez déjà les ensembles simplicial). Pour ma part, je préfère commencer par quelque chose de concret et ensuite construire l'abstraction par-dessus, petit à petit, comme le suggère cet ordre. Le livre de Weibel est vraiment écrit de telle manière qu'il est facile de passer de là à des catégories triangulées, des catégories de modèles et des quasi-catégories. Mais cela commence à un endroit très accessible aux algébres.

1 ArthurPanderMaat Aug 22 2020 at 00:54

Je vais d'abord répondre à votre deuxième question. Dans une certaine mesure, l'ordre que vous choisirez dépendra en grande partie du fait que vous souhaitiez diriger avec des exemples ou avec une abstraction complète. À titre d'exemple, vous pouvez introduire des résolutions projectives et la catégorie dérivée en utilisant uniquement des faits sur$\text{Ch}(\mathcal{A})$ et le calcul des fractions d'Ore (voir le livre de Weibel pour un traitement comme celui-ci) ou vous pouvez introduire des catégories de modèles, prouver leurs propriétés, prouver que $\text{Ch}(\mathcal{A})$admet une structure de modèle projective utilisant un petit argument objet (voir cette page nLab pour un aperçu de l'argument), et arriver ainsi à une description de la catégorie dérivée comme catégorie d'homotopie.

Personnellement, je pense que le deuxième compte serait inutilement compliqué et qu'il serait plus logique d'introduire d'abord une algèbre homologique, notamment parce que vous pouvez ainsi introduire la structure du modèle projectif comme un exemple de structure de modèle, la résolution projective comme exemple d'un résolution de cofibrant, catégorie dérivée comme exemple d'une catégorie d'homotopie et cetera; ces concepts peuvent être difficiles à acquérir une intuition car sans plusieurs exemples! Mais les deux commandes sont disponibles pour vous.

Sur la question des catégories de modèles et des quasi-catégories: les catégories de modèles peuvent être considérées comme des "présentations" pour les quasi-catégories (voir cette page nLab pour cette perspective, et les annexes A.2 et A.3 de la théorie des topos supérieurs de Lurie pour un développement de la théorie de catégories de modèles avec cet objectif explicite). Les quasi-catégories présentent plusieurs avantages par rapport aux catégories de modèles: par exemple, il existe une quasi-catégorie de foncteurs d'une quasi-catégorie à une autre, alors que l'instruction analogue n'est pas valable pour les catégories de modèles. Cependant, les structures de modèles sont fortement impliquées dans de nombreuses preuves fondamentales concernant les quasi-catégories, il n'y a donc pas deux façons de classer ces sujets.

Concernant votre première question: personnellement, je ne pense pas que l'algèbre homologique soit une motivation suffisante pour introduire des catégories de modèles ou des catégories à l'infini. Comme indiqué dans les commentaires, la catégorie triangulée$\mathcal{D}(\mathcal{A})$n'autorise pas les cônes fonctionnels et cela est ennuyeux dans certaines applications, mais les gens se sont généralement bien entendus avec l'application de l'algèbre homologique pendant des décennies avant que les gens ne commencent à parler de catégories dg et quasi. Un ordre plus fort pour votre texte, à mon avis, serait d'introduire des concepts de base de l'algèbre homologique, puis de les utiliser comme exemples lorsque vous commencez à parler de catégories de modèles et enfin de quasi-catégories.

Sur la question d'une propriété universelle pour $\mathcal{D}(\mathcal{A})$en utilisant des catégories à l'infini, vous trouverez peut-être utile la section 1.3.3 de l'algèbre supérieure de Lurie. Notez cependant que$\mathcal{D}(\mathcal{A})$ a certainement une propriété universelle dans le langage 1-catégorique ordinaire: c'est la localisation de $\text{Ch}(\mathcal{A})$ aux quasi-isomorphismes.