Toute carte continue est homotope à une en supposant des valeurs fixes à un nombre fini de points
Laisser $X$ et $Y$être des espaces topologiques. Présumer$X$est localement contractable et n'a pas de sous-ensemble fini dense. Présumer$Y$ est connecté au chemin.
Donné $n$ paires de points $(x_i, y_i)$ où $x_i\in X$ et $y_i\in Y$ pour $1\leq i\leq n$ et une carte continue $f:X\to Y$ pouvons-nous trouver une carte continue $g:X\to Y$ homotopique à $f$ tel que $g(x_i)=y_i$?
Réponses
Laisser $X$ être la vraie ligne avec une origine doublée et $Y$ être $\Bbb R$, et laissez $f$ être la carte de projection qui réduit les deux origines $0^+$ et $0^-$ à $0$. Puis n'importe quelle carte$g: X \to Y$ satisfait $g(0^+) = g(0^-)$ car $\Bbb R$est Hausdorff. Donc,$f$ n'est homotope à aucune carte qui envoie ces deux points à des points distincts.
Votre question est étroitement liée à l'inclusion $\{x_1,\dots,x_n\} \subset X$ayant la propriété d'extension d'homotopie. En particulier, s'il s'agit de l'inclusion d'une rétractation de déformation de voisinage, alors de telles homotopies existent. Dans l'exemple ci-dessus, chaque point a individuellement un quartier contractable mais les deux origines réunies n'ont pas de quartier qui se rétracte sur elles.